一个调和函数，但不是某全纯函数的实部

取$B(0,1)\setminus\{0\}$上的调和函数$\log|z|$,那么他不可能是$B(0,1)\setminus\{0\}$上某个全纯函数的实部.否则设

$$f(z)=\log|z|+iu(z)\in H(B(0,1)\setminus\{0\})$$

其中$u(z)$是实值的.那么$e^{f(z)}=|z|e^{iu(z)}$,所以$$\left|\frac{e^{f(z)}}{z}\right|\equiv1$$

所以$\frac{e^{f(z)}}{z}$常值,所以存在$\theta\in(-\pi,\pi]$使得\begin{align*}e^{f(z)}&=ze^{i\theta}\\\Rightarrow u(z)&=\theta+{\rm arg}z+2k(z)\pi\end{align*}

其中$k(z)$为取值为$\mathbb Z$的函数,而由$u(z)$的连续性可知$k(z)$常值,那么$${\rm arg}z=u(z)-\theta-2k\pi\in C(B(0,1)\setminus\{0\})$$

这是不可能的.因为${\rm arg}$在负实轴上是间断的.