一个复平面上的不等式

设$z_{1},\cdots,z_{N}\in\mathbb C$,证明存在$\{1,2,\cdots,N\}$的子集$S$使得$$\left|\sum_{k\in S}z_{k}\right|\geq\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{N}|z_{k}.|$$

证明    设$z_{k}=|z_{k}|e^{i\theta_{k}}$,那么对任意的

\begin{align*}0\leq\theta\leq2\pi\end{align*}

令集合\begin{align*}S(\theta)=\{k:\cos(\theta_{k}-\theta)>0\}\end{align*}

所以\begin{align*}\left|\sum_{k\in S(\theta)}z_{k}\right|&=\left|\sum_{k\in S(\theta)}e^{-i\theta}z_{k}\right|\\&\geq\sum_{k\in S(\theta)}|z_{k}|\cos(\theta_{k}-\theta)\\&=\sum_{k=1}^{N}|z_{k}|\cos^+(\theta_{k}-\theta)\end{align*}

所以我们选取适当的$\theta$使得右端取值最大,取此时的集合为$S$,而且右端的这个最大值$M$必然满足

\begin{align*}M&\geq\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{N}|z_{k}|\cos^+(\theta_{k}-\theta_{j}),\forall n\in\mathbb N\end{align*}其中$\theta_{j}\in[0,2\pi]$,特别的我们限制每个

\begin{align*}\theta_{j}\in\left[\frac{(j-1)2\pi}{n},\frac{j2\pi}{n}\right]\end{align*}

并令$n\to\infty$可得

\begin{align*}M&\geq\frac{1}{2\pi}\sum_{k=1}^{N}|z_{k}|\int_{0}^{2\pi}\cos^+(\theta_{k}-x){\rm d}x\\&=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=1}^{N}|z_{k}|\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos(\theta_{k}-x)+|\cos(\theta_{k}-x)|}{2}{\rm d}x\\&=\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{N}|z_{k}|\end{align*}

即\begin{align*}\left|\sum_{k\in S}z_{k}\right|\geq\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{N}|z_{k}|\end{align*}