复分析学习8——单位分解定理

    复习7中最后我们得到了全纯函数各阶导数的一个估计,但是这个估计是比较粗糙的,而且还仅仅是在一点处的估计，事实上利用Pompeiu公式我们还可以得到一个更深刻的结果，我们需要先来证明一个引理，即所谓的单位分解定理.

    在复平面$\mathbb C$上,定义标准函数

\[\theta(z)=\left\{\begin{array}{cc} k\exp\left(-\frac{1}{1-|z|^2}\right)&|z|<1\\0&|z|\geq1\end{array}\right.\]

其中

\[k=\frac{1}{\int_{|z|\leq1}\theta(z){\rm d}A}\]

为常数.那么容易证明$\theta(z)\in C_{0}^{\infty}(\mathbb C)$,(注：$C_{0}^{k}(\Omega)$表示支集在$\Omega$内紧的全体$C^k(\overline{\Omega})$函数所组成的集合)且

\[{\rm supp}\theta(z)=\{z\in\mathbb C:|z|\leq1\}\]

其中${\rm supp}\theta(z)$称作$\theta(z)$的支集,表示

\[{\rm supp}\theta(z)\triangleq\overline{\{z\in\mathbb C|\theta(z)\neq0\}}\]

由$\theta(z)$出发我们可以定义很多$C_{0}^{\infty}(\mathbb C)$的函数,例如我们定义

\[\theta_{\delta}(z)=\frac{1}{\delta^2}\theta\left(\frac{z}{\delta}\right),\delta>0\]

那么$\theta(z)$与$\theta_{\delta}(z)$性质类似且

\[{\rm supp}\theta_{\delta}(z)=\{z\in\mathbb C:|z|\leq\delta\}.\]

  

引理：设$\Omega\subset\mathbb C$为开集,$\mathscr B$为$\Omega$的一组开集基,则在$\mathbb B$中存在一个序列$\{U_{n}\}_{n\in\mathbb N^*}$使得

1)$\Omega=\bigcup_{n\in\mathbb N^*}U_{n}$;

2)对$\Omega$中任一紧集$K$,他仅与$\{U_{n}\}$中有限个相交.

证    取一相对于$\Omega$的紧集序列$\{K_{n}\}_{n\in\mathbb N^*}$且$\bigcup\limits_{n\in \mathbb N^*}K_{n}=\Omega$,同时

\[K_{i}\subset{\rm int}K_{i+1}\]

令\[W_{i}={\rm int} K_{i+1}\setminus K_{i-2},V_{i}=K_{i}\setminus{\rm int}K_{i-1}\]

那么$W_{i}$开,$V_{i}$紧且

\[V_{i}\subset W_{i},\Omega=\bigcup_{i\in\mathbb N^*}V_{i}\]

对任意一点$z\in V_{i}$,存在某一邻域$B(z,r)\in\mathscr B$使得

\[z\in B(z,r)\subset W_{i}\]

注意到$V_{i}$紧,因此在$V_{i}$中仅有有限个点$z_{i1},z_{i2},\cdots,z_{is_{i}}$使得

\[V_{i}\subset \bigcup_{1\leq j\leq s_{i}}B(z_{ij},r)\subset W_{i}\]

当$i$遍历$\mathbb N^*$时,显然

\[\bigcup_{i\in\mathbb N^*}\bigcup_{1\leq j\leq s_{i}}B(z_{ij},r)=\Omega\]

并且上式左端的各个邻域所组成的序列$\{B_{z_{nj},r}\}$也满足第二个条件.(因为$\Omega$中任一紧集$K$之多与有限个$W_{i}$相交)

并且我们把满足1)的$\{U_{n}\}$称作$\Omega$的开覆盖,性质2)表明开覆盖是局部有限的.

 

到这里我们便可以得到单位分解定理：设$\Omega\subset\mathbb C$是开集,$\{U_{i}\}_{i\in I}$为$\Omega$的一个开覆盖,其中$I$为指标集.那么在$\mathscr D(\Omega)$中存在序列$\{f_{n}(z)\}_{n\in\mathbb N^*}$使得

1)对任意的$j\in I$,都存在$i_{j}\in\mathbb N^*$使得

\[{\rm supp}f_{j}\subset U_{i_{j}}\]

且支集集合$\{{\rm supp}f_{i}(z)\}$是局部有限的；

2)对任意的$n$有$0\leq f_{n}(z)\leq1$；

3)对任意的$z\in\Omega$,有

\[\sum_{n\in\mathbb N^*}f_{n}(z)=1\]

我们称满足上面3条性质的序列$\{f_{n}\}$叫做开覆盖$\{U_{n}\}$的单位分解.

证    对每一个$z\in\Omega$,都存在$r_{z}>0$使得

\[\overline{B}(z,r_{z})\subset U_{i_{z}}\]

其中$i_{z}\in I$.那么当$z$遍历$\Omega$时,$\{B(z,r)\}(z\in\Omega,0<r<r_{z})$构成了$\Omega$的开集基,因此存在序列$\{B(z_{n},r_{n})\}_{n\in\mathbb N^*}$满足前面的引理的1),2),且

\[B(z_{n},r_{n})\subset U_{i_{n}}\triangleq U_{i_{z_{n}}}\]

令$\beta_{n}(z)=\theta_{r_{n}}(z-z_{n})$,则$\beta_{n}\in\mathscr D(\Omega)$,且

\[{\rm supp}\beta_{n}(z)=\{z:|z-z_{n}|\leq r_{n}\}\]

据引理的条件2可知$\{{\rm supp}\beta_{n}\}_{n\in\mathbb N^*}$局部有限.另一方面

\[\sum_{n\in\mathbb N^*}\beta_{n}(z)=s(z)\in C^{\infty}(\Omega)\]

且在$\Omega$上$s(z)>0$.再令

\[f_{n}(z)=\frac{\beta_{n}(z)}{s(z)}\]

即得满足1,2,3要求的序列.

这样便完成了单位分解定理的证明.