复分析学习6——Cauchy积分理论2(Cauchy-Goursat定理)

    前面我们提到Cauchy积分公式和定理都要求函数$f(z)\in C^1(\overline{\Omega})$,事实上这个条件可以减弱,而这个要归功于Goursat.我们有

Cauchy-Goursat积分公式:设$\Omega\subset\mathbb C$为有界区域,且$\partial\Omega$为可求长的简单闭曲线,若$f(z)$在$\omega$上全纯且在$\overline{\Omega}$上连续,则

\begin{align*}f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}{\rm d}\zeta\end{align*}

类似的有Cauchy-Goursat积分定理：若$\Omega\subset\mathbb C$为有界区域,且边界$\partial\Omega$为可求长的简单闭曲线,若$f(z)$在$\Omega$内全纯,在$\overline{\Omega}$上连续,则

\[\int_{\partial\Omega}f(\zeta){\rm d}\zeta=0\]

二者之等价性据上一节是显然的.因此只需证明其一即可.而这是1900年Goursat第一次给出的,Goursat证明Cauchy-Goursat定理的大致思路是这样的.

1)$f(z)$沿$\Omega$内任一分段光滑的曲线$\Gamma$的积分都可以用$f(z)$在$\Omega$内的折线序列$\gamma_{n}$上的积分来逼近,换言之:对任意的$\varepsilon>0$,都存在$\gamma\subset\Omega$使得

\[\left|\int_{\Gamma}f(z){\rm d}z-\int_{\gamma}f(z){\rm d}z\right|<\varepsilon\]

2)说明在单连通区域$D$上的全纯函数$f(z)$,沿$D$内任一闭折线$\gamma$都有

\[\int_{\gamma}f(z){\rm d}z=0\]

由于闭折线可添加若干对角线使得其分成若干个三角形，并且添加的线段上的积分是相互抵消的,因此可需考虑折线$\gamma$是三角形的情况即可.

3)至此不难得出定理的证明.

 

    事实上次定理对于多连通区域同样适用,由于多连通区域可由若干曲线分割成若干单连通区域，并且在这些曲线上的积分值是相互抵消的.根据Cauchy-Goursat定理可以得出所谓的复变函数的不定积分:如果$f(z)$在$\Omega$内全纯,定义

\[F(z)=\int_{z_{0}}^{z}f(\zeta){\rm d}\zeta,z_{0},z\in\Omega\]

显然$F(z)$也在$\Omega$内全纯并且

\[F'(z)=f(z)\]

 

我们还可以得到全纯函数的一个重要的性质,即如果$f(z)$在$B(z_{0},r)$内全纯,在$\overline{B}(z_{0},r)$上连续,则

\[f(z_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+re^{i\theta}){\rm d}\theta\]

也就是说$f(z)$在圆周上的均值等于圆心的函数值.

这个性质类似于调和函数,因为我们知道(以二元为例)如果二元实函数$u(x,y)$满足

\[\Delta u=0\]

则

\[u(x,y)=\frac{1}{2\pi r}\int_{C_{r}}u(\xi,\eta){\rm d}s\]

其中$C_{r}$表示以$(x,y)$为圆心$r$为半径的圆周.

而我们知道一个函数全纯,那么气实部和虚部均是调和的,这样再来看这个性质就很显然了.