复分析学习3——全纯函数
复变函数的概念可以从数学分析中平移过来.如同实函数一样我们来定义$\mathbb C$上的复值函数$w=f(z)$的连续性,为了方便,我们假设$f(z)$是单值的.我们称如果
$$\lim_{z\to z_{0}}f(z)=w_{0}$$
用$\varepsilon-\delta$语言表述即为:对任意的$\varepsilon>0$,都存在着$\delta>0$使得当$|z-z_{0}|<\varepsilon$时恒有
$$|f(z)-w_{0}|<\varepsilon.$$
如果$\lim\limits_{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0})$,则称$f(z)$在$z_{0}$处连续.类似的我们考虑极限
\[\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}(h\in\mathbb C)\]
(需要注意的是此处$h\to0$的方式有无穷多种)如果该极限存在，称$f(z)$在$z$处可导.复值函数的可微性定义与实函数相同,事实上我们很容易可以证明$f(z)$在某一点处可导和可微是等价的.并且复值函数的导数的四则运算法则以及复合函数的运算都与实函数相一致,很容易推出.
学习数学分析时曾因Werstrass构造出了处处连续而处处不可微的函数而感到十分惊讶,后来学习了泛函分析又看到了更为神奇的事实：这样的函数的全体竟然是一个第二纲集.虽然Berenstein多项式给出了这样的函数一种比较简单的构造方式.然而在复分析中,这样的函数我们却可以信手拈来,比如
$$f(z)={\rm Re}z,\overline{z}$$
等等.
如果$f(z)$在某区域(连通的开集)$\Omega$内每一点都可微,则称$f(z)$在$\Omega$内全纯（或解析、正则）.如果我们设函数
\[f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\]
在某一点$z_{0}=x_{0}+iy_{0}$处可微,我们很容易得到所谓的Cauchy-Riemann方程：在$z_{0}$处我们有
\[u_{x}=v_{y},u_{y}=-v_{x}\]
且$f'(z)=u_{x}+iv_{x}$.
然而这并不是一个函数在该点可微的充要条件.反例也很容易举出.我们适当加强条件便可得到:
$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在某一点$z_{0}$处可微等价于$u,v$均在点$(x,y)$处具有连续的一阶偏导数且满足Cauchy-Riemann方程.
他的证明也是容易的,此处不再给出.
事实上运用复值函数的Taylor级数我们可以证明全纯函数的导数也是全纯的,因此上述充要条件右端可以弱化为：$u,v$在$(x,y)$处可微且满足C-R方程.(因为数学分析我们知道若$u(x,y)$偏导数连续可得出其可微，但反之并不成立)
因为如果$f(z)=u+iv$在$\Omega$内全纯,那么$f'(z)$也全纯,从而$u,v$的二、三、四……阶偏导数都是连续的,从而混合偏导数相等,根据C-R方程易得
\[\Delta u=\Delta v=0\]
也就是说全纯函数的实部和虚部都是调和函数.
如果以
\[x=\frac{1}{2}(z+\overline{z}),y=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})\]
再根据复合函数求导的法则可知
\[\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\right)\]
$$\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\right)$$
再根据C-R方程可知$f(z)$全纯等价于$\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}=0$.这时我们可以认为全纯函数$f$与$\overline{z}$无关,仅为复数$z$的一元复值函数,而不看做实数$x,y$的二元复值函数.
另外如果我们将函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$以前面的替换,而看做复变数$z,\overline{z}$的二元复值函数
\[f(z,\overline{z})=u(z,\overline{z})+iv(z,\overline{z})\]
我们不难得出复变函数$f$的全微分公式
\[{\rm d}f=\frac{\partial f}{\partial z}{\rm d}z+\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}{\rm d}\overline{z}\]
