复分析学习2

关于复数的辐角、主辐角都没什么可说的.只要注意一点就是复数$z$的主辐角的取值范围

\[0\leq\arg z<2\pi\]

显然$[0,+\infty)$上的点都是$\arg$的间断点.并且$\arg$是$\mathbb{C}\setminus\{0\}\to[0,2\pi)$的单值函数.但是辐角${\rm Arg}$确是一个多值函数.

设$z=x+iy$,由此便可用平面上的坐标来与之一一对应,这样便得到了复平面$\mathbb C$.现在的问题是无穷远点$\infty$如何处理？

几何模型是将一个单位球与$\mathbb C$平面相切的放于$\mathbb C$上,并且设北极点为$A$,那么球面上任意一点$B$,我们连接$AB$并延长交$\mathbb C$平面于$C$,这样我们得到了复球面与复平面之间的一一对应,而无穷远点则对应于球面上的$A$点.有的时候也将这个球面称为Riemann面.这样的话假想的点$\infty$在球面上就不再是假想的了.我们将$\mathbb C+\{\infty\}$叫做扩充复平面,记做$\mathbb{C}_{\infty},\mathbb{C}^*$.

 

这部分没啥可说的.突然想起一个比较经典的题目,就是采用复数的辐角来做的.问题是求如下无穷级数的和

\[\sum_{n=1}^{\infty}\arctan\frac{1}{n^2}\]

这个问题无法用以前的

$$\arctan\frac{x-y}{1+xy}=\arctan x-\arctan y$$

裂项来做.这里有一个采用复数辐角的方法,注意到

\[\arctan\frac{1}{n^2}=\arg\left(1+\frac{i}{n^2}\right)\]

从而

\[\sum_{n=1}^{\infty}\arctan\frac{1}{n^2}=\arg\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{i}{n^2}\right)\]

$$=\arg\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{\left(\frac{\pi(1+i)}{\sqrt2}\right)^2}{n^2\pi^2}\right)$$

$$=\arg\frac{{\rm sinh}\left(\frac{\pi(1+i)}{\sqrt2}\right)}{\frac{\pi(1+i)}{\sqrt2}}$$

\begin{align*}=\arctan\left(\frac{\tan\frac{\pi}{\sqrt2}-{\rm tanh}\frac{\pi}{\sqrt2}}{\tan\frac{\pi}{\sqrt2}+{\rm tanh}\frac{\pi}{\sqrt2}}\right)\end{align*}

(不知道为啥编译显示不出来？毕竟是博客，貌似不能用数学环境,编辑公式还是比较不方便的)

另外上面的解答用到了双曲正弦函数${\rm sinh}$的无穷乘积展开式

$${\rm sinh}x=x\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)$$