复分析学习1

最近想学习一下复分析，正好开通了博客园，于是便想借此来学习一下.

首先简单复习一下外微分形式的一些运算规则.我们定义微分${\rm d}x,{\rm d}y$的外积${\rm d}x\wedge{\rm d}y$,需要满足

\[{\rm d}x\wedge{\rm d}y=-{\rm d}y\wedge{\rm d}x\]

据此便可得到${\rm d}x\wedge{\rm d}x=0$.

由微分的外积乘上函数，他们在一起被称为外微分形式.并且我们定义外微分算子

$${\rm d}f=\frac{\partial f}{\partial x} {\rm d}x+\frac{\partial f}{\partial y} {\rm d}y+\frac{\partial f}{\partial z} {\rm d}z$$

那么对于零次外微分形式$f$,${\rm d}$即为全微分算子.对于一次外微分形式$\omega=P{\rm d}x+Q{\rm d}y+R{\rm d}z$,定义

\[{\rm d}\omega={\rm d}P\wedge{\rm d}x+{\rm d}Q\wedge{\rm d}y+{\rm d}R\wedge{\rm d}z\]

\[=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right){\rm d}y\wedge{\rm d}z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right){\rm d}z\wedge{\rm d}x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right){\rm d}x\wedge{\rm d}y\]

而对于二次外微分形式$\varphi=A{\rm d}y\wedge{\rm d}z+B{\rm d}z\wedge{\rm d}x+C{\rm d}x\wedge{\rm d}y$,显然

\[{\rm d}\varphi=\left(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}\right){\rm d}x\wedge{\rm d}y\wedge{\rm d}z\]

并且显然的是对于三次外微分形式$\psi=H{\rm d}x\wedge{\rm d}y\wedge{\rm d}z$有$${\rm d}\psi={\rm d}H\wedge{\rm d}x\wedge{\rm d}y\wedge{\rm d}z\equiv0$$

再规定\[{\rm dd}x={\rm dd}y={\rm dd}z=0.\]

便可得到所谓的Poincare引理：若$\omega$为一个外微分形式，且其系数具有二阶连续的偏导数,则${\rm dd}\omega=0$.并且其逆定理,若$\omega$为一个$p$次的外微分形式,且${\rm d}\omega=0$,则存在一个$p-1$次的外微分形式$\psi$使得$$\omega={\rm d}\psi$$

借助于外微分形式我们可将多元微积分的Green公式,Gauss公式以及Stokes公式统一为

\[\int_{\partial\Sigma}\omega=\int_{\Sigma}{\rm d}\omega\]