欧几里得算法

一、最大公约数

　　约数：如果整数a能被整数b整除，那么a叫做b的倍数，b叫做a的约数。

　　最大公约数（Greatest Common Divisor,GCD）：给定两个整数a,b，两个数的所有公共约数中的最大值即为最大公约数。例如，12与16的最大公约数是4.

1、如果计算两个数的最大公约数

　　欧几里得：辗转相除法（欧几里得算法）

　　《九章算术》：更相减损术

二、欧几里得算法

　　gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)，意思是说a,b的最大公约数等于a/b的余数(a%b)和b的最大公约数。

　　例如：gcd(60, 21) = gcd(21, 18) = gcd(18, 3) = gcd(3, 0) = 3  ；b=0是终止条件，此时的a就是最大公约数

　　证明：

1、欧几里得算法代码实现

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

def gcd(a, b):     """最大公约数：伪递归（编译器会进行优化）的效率与循环是一样的"""     if b == 0:   # 当b=0是，a就是要得到的最大公约数         return a     else:         return gcd(b, a % b)   # 取到余数     print(gcd(16, 12))   # 4     def gcd2(a, b):     """非递归方法"""     while b > 0:         r = a % b         a = b         b = r     return a  # 此时b=0，达到循环终止条件   print(gcd2(12, 16))  # 4

　　a，b输入的数字大小顺序不同是否会影响计算结果?

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1 2 3 4 5 6 7 8

print(gcd2(12, 16))  # 4 """ 12  16 r=12  a=16  b=12 r=4   a=12  b=4 r=0   a=4    b=0 由此可见a,b的顺序不影响结果 """

2、欧几里得算法应用——实现分数计算

　　利用欧几里得算法实现一个分数类，支持分数的四则运算。

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97

class Fraction:     def __init__(self, a, b):         """         分数类——构造函数         :param a:分子         :param b:分母         """         self.a = a         self.b = b         x = self.gcd(a, b)   # a,b的最大公约数         self.a /= x   # 约分         self.b /= x       def gcd(self, a, b):         """最大公约数——非递归方法"""         while b > 0:             r = a % b             a = b             b = r         return a  # 此时b=0，达到循环终止条件       def LCM(self, a, b):         """最小公倍数"""         x = self.gcd(a, b)         return a * b / x       def __add__(self, other):         """         分数加法         对象a和b相加时，python自动根据对象a的__add__魔法方法进行加法操作         :param other:         :return:         """         # 1/12 + 1/20         a = self.a         b = self.b         c = other.a         d = other.b         denominator = self.LCM(b, d)   # b,d的最小公倍数，最后的分母         numerator = a * (denominator / b) + c * (denominator / d)   # 最后的分子         return Fraction(numerator, denominator)       def __sub__(self, other):         """         分数减法         :param other:         :return:         """         a = self.a         b = self.b         c = other.a         d = other.b         denominator = self.LCM(b, d)   # 分母的最小公倍数         numerator = a * (denominator / b) - c * (denominator / d)         return Fraction(numerator, denominator)       def __mul__(self, other):         """         分数乘法  1/5 * 3/10         :param other:         :return:         """         a = self.a         b = self.b         c = other.a         d = other.b         denominator = b * d         numerator = a * c         return Fraction(numerator, denominator)       def __truediv__(self, other):         """         分数除法  (1/3)/(1/2)=2/3         :param other:         :return:         """         a = self.a         b = self.b         c = other.a         d = other.b         denominator = self.LCM(b, c)  # 分母和除数分子最小公倍数         numerator = a * (denominator / b) + d * (denominator / d)   # 最后的分子         return Fraction(numerator, denominator)       def __str__(self):         return "%d/%d" % (self.a, self.b)     f = Fraction(30, 15) print(f)   # 2/1   a = Fraction(1, 3) b = Fraction(1, 4) print(a + b)   # 7/12 print(a-b)    # 1/12 print(a * b)  # 1/12 print(a / b)  # 4/3