贪心算法
贪心算法（又称贪婪算法）是指，在堆问题求解时，总是做出当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出是在某种意义上的局部最优解。
贪心算法并不保证会得到最优解，但是在某些问题上贪心算法的解就是最优解。要会判断一个问题能否用贪心算法来计算。
一、找零问题
假设商店老板需要找零n元钱，钱币的面额有：100元、50元、20元、5元、1元，如何找零使得所需钱币的数量最小？
t = [100, 50, 20, 5, 1]
def change(t, n): # n指的总金额
m = [0 for _ in range(len(t))] # 创建一个和t一样长但全是0的列表
# 这里假设t都是倒序排好的
for i, money in enumerate(t):
m[i] = n // money # n整除money:376//100=3
n = n % money # n对money取余:376%100=76
return m, n # 如果到最后找不开，n就是找不开的钱
print(change(t, 376)) # ([3, 1, 1, 1, 1], 0) 即：300+50+20+5+1
# 如果t = [100, 50, 20, 5]，则有1块钱找不开，
print(change(t, 451)) # ([4, 1, 0, 0], 1)
二、背包问题
一个小偷在某个商店发现有n个商品，第i个商品价值vi元，重wi千克。他希望拿走的价值尽量高，但他的背包最多只能容纳W千克的东西。他应该拿走哪些商品？
1、0-1背包
对于一个商品，小偷要么把它完整拿走，要么留下。不能只拿走一部分，或把一个商品拿走多次。（商品为金条）
2、分数背包
对于一个商品，小偷可以拿走其中任意一部分。（商品为金砂）
3、问题示例
- 商品1：v1=60 w1=10
- 商品2：v2=100 w2=20
- 商品3：v3=120 w3=30
- 背包容量：W=50
- 对于0-1背包和分数背包，贪心算法是否都能得到最优解？为什么？
答：贪心算法对分数背包可以得到最优解，对0-1背包得不到最优解，很可能背包都无法装满。
两种背包问题都具有最优子结构性质。对0-1背包问题，考虑重量不超过W而价值最高的装包方案。如果我们将商品j从此方案中删除，则剩余商品必须是重量不超过W-wj的价值最高的方案（小偷只能从不包括商品j的n-1个商品中选择拿走哪些）。
虽然两个问题相似，但我们用贪心策略可以求解背包问题，而不能求解0-1背包问题，为了求解部分数背包问题，我们首先计算每个商品的每磅价值vi/wi。遵循贪心策略，小偷首先尽量多地拿走每磅价值最高的商品，如果该商品已全部拿走而背包未装满，他继续尽量多地拿走每磅价值第二高的商品，依次类推，直到达到重量上限W。因此，通过将商品按每磅价值排序，贪心算法的时间运行时间是O(nlgn)。
为了说明贪心这一贪心策略对0-1背包问题无效，考虑下图所示的问题实例。此例包含3个商品和一个能容纳50磅重量的背包。商品1重10磅，价值60美元。商品2重20磅，价值100美元。商品3重30磅，价值120美元。因此，商品1的每磅价值为6美元，高于商品2的每磅价值5美元和商品3的每磅价值4美元。因此，上述贪心策略会首先拿走商品1。但是，最优解应该是商品2和商品3，而留下商品1。拿走商品1的两种方案都是次优的。
但是，对于分数背包问题，上述贪心策略首先拿走商品1，是可以生成最优解的。拿走商品1的策略对0-1背包问题无效是因为小偷无法装满背包，空闲空间降低了方案的有效每磅价值。在0-1背包问题中，当我们考虑是否将一个商品装入背包时，必须比较包含此商品的子问题的解与不包含它的子问题的解，然后才能做出选择。这会导致大量的重叠子问题——动态规划的标识。
4、分数背包代码实现
def fractional_backpack(goods, w):
"""
贪心算法——分数背包
:param goods: 商品
:param w: 背包容量
:return:
"""
m = [0 for _ in range(len(goods))] # [0, 0, 0]
total_v = 0 # 总价值
for i, (price, weight) in enumerate(goods):
if w >= weight:
m[i] = 1
total_v += price
w -= weight
else: # 不足1
m[i] = w / weight
total_v += m[i]*price
w = 0
break
return m, total_v
print(fractional_backpack(goods, 50)) # ([1, 1, 0.6666666666666666], 240.0) 60+100+120*2/3=60+100+80=240
三、拼接最大数字问题
有n个非负整数，将其按照字符串拼接的方式拼接为一个整体。如何拼接可以使得得到的整数最大？
例：32,94,128,1286,6,71可以拼接出的最大整数为94716321286128
from functools import cmp_to_key # 传递python2中sort的cmp函数
li = [32, 94, 128, 1286, 6, 71]
def xy_cmp(x, y):
if x+y < y+x: # 要让大的在前面，这里需要交换
return 1
elif x+y > y+x:
return -1
else:
return 0
def number_join(li):
li = list(map(str, li)) # 转换为字符串:['32', '94', '128', '1286', '6', '71']
# 方法1：cmp函数
li.sort(key=cmp_to_key(xy_cmp)) # 传递进xy_cmp函数
# 方法2：使用快排、冒泡排序等
return "".join(li)
print(number_join(li)) # 94716321286128
四、活动选择问题
假设有n个活动，这些互动要占用同一片场地，而场地在某时刻只能供一个活动使用。
每个活动都有一个开始时间si和结束时间fi（题目中时间以整数表示），表示活动在[si, fi)（左闭右开）区间占用场地。
问：安排哪些活动能够使该场地举办的活动个数最多？
1、贪心结论和证明
贪心结论：最先结束的活动一定是最优解的一部分。
证明：假设a是所有活动中最先结束的活动，b是最优解中最先结束的活动。
- 如果a=b，结论成立。
- 如果a≠b，则b的结束时间一定晚于a的结束时间，则此时用a替换掉最优解中的b，a一定不与最优解中的其他活动时间重叠，因此替换后的解也是最优解。
2、活动选择问题实现
activities = [(1, 4), (3, 5), (0, 6), (5, 7), (3, 9), (5, 9), (6, 10), (8, 11), (8, 12), (2, 14), (12, 16)]
# 保证活动是按照结束时间排好序的（每次选择最早结束的）
activities.sort(key=lambda x: x[1])
# print(activities)
def activity_selection(a):
"""
活动选择
:param a: 活动
:return:
"""
res = [a[0]] # 将最早结束的活动放入结果中
for i in range(1, len(a)): # 对列表进行遍历（除去第一个）
if a[i][0] >= res[-1][-1]: # 当前活动开始时间 大于等于 res最后一个活动的结束时间 因此不冲突
res.append(a[i])
return res
print(activity_selection(activities)) # [(1, 4), (5, 7), (8, 11), (12, 16)]
五、总结
都是最优化问题。大大提升了解决问题的速度，但是它也有一些优化问题无法解决或得到的不是最优解。
贪心算法存在的问题：
- 不能保证求得的最后解是最佳的；
- 不能用来求最大或最小解问题；
- 只能求满足某些约束条件的可行解的范围。
