贪心算法

　　贪心算法（又称贪婪算法）是指，在堆问题求解时，总是做出当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出是在某种意义上的局部最优解。

　　贪心算法并不保证会得到最优解，但是在某些问题上贪心算法的解就是最优解。要会判断一个问题能否用贪心算法来计算。

一、找零问题

　　假设商店老板需要找零n元钱，钱币的面额有：100元、50元、20元、5元、1元，如何找零使得所需钱币的数量最小？

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

t = [100, 50, 20, 5, 1]   def change(t, n):   # n指的总金额     m = [0 for _ in range(len(t))]   # 创建一个和t一样长但全是0的列表     # 这里假设t都是倒序排好的     for i, money in enumerate(t):         m[i] = n // money  # n整除money:376//100=3         n = n % money  # n对money取余:376%100=76     return m, n   # 如果到最后找不开，n就是找不开的钱   print(change(t, 376))    # ([3, 1, 1, 1, 1], 0)   即：300+50+20+5+1   # 如果t = [100, 50, 20, 5]，则有1块钱找不开， print(change(t, 451))    # ([4, 1, 0, 0], 1)

二、背包问题

　　一个小偷在某个商店发现有n个商品，第i个商品价值v_i元，重w_i千克。他希望拿走的价值尽量高，但他的背包最多只能容纳W千克的东西。他应该拿走哪些商品？

1、0-1背包

　　对于一个商品，小偷要么把它完整拿走，要么留下。不能只拿走一部分，或把一个商品拿走多次。（商品为金条）

2、分数背包

　　对于一个商品，小偷可以拿走其中任意一部分。（商品为金砂）

3、问题示例

• 商品1：v1=60   w1=10
• 商品2：v2=100   w2=20
• 商品3：v3=120   w3=30
• 背包容量：W=50
• 对于0-1背包和分数背包，贪心算法是否都能得到最优解？为什么？

　　答：贪心算法对分数背包可以得到最优解，对0-1背包得不到最优解，很可能背包都无法装满。

　　两种背包问题都具有最优子结构性质。对0-1背包问题，考虑重量不超过W而价值最高的装包方案。如果我们将商品j从此方案中删除，则剩余商品必须是重量不超过W-wj的价值最高的方案（小偷只能从不包括商品j的n-1个商品中选择拿走哪些）。

　　虽然两个问题相似，但我们用贪心策略可以求解背包问题，而不能求解0-1背包问题，为了求解部分数背包问题，我们首先计算每个商品的每磅价值v_i/w_{i。遵循贪心策略，小偷首先尽量多地拿走每磅价值最高的商品，如果该商品已全部拿走而背包未装满，他继续尽量多地拿走每磅价值第二高的商品，依次类推，直到达到重量上限W。因此，通过将商品按每磅价值排序，贪心算法的时间运行时间是O(nlgn)。}

　　为了说明贪心这一贪心策略对0-1背包问题无效，考虑下图所示的问题实例。此例包含3个商品和一个能容纳50磅重量的背包。商品1重10磅，价值60美元。商品2重20磅，价值100美元。商品3重30磅，价值120美元。因此，商品1的每磅价值为6美元，高于商品2的每磅价值5美元和商品3的每磅价值4美元。因此，上述贪心策略会首先拿走商品1。但是，最优解应该是商品2和商品3，而留下商品1。拿走商品1的两种方案都是次优的。

　　但是，对于分数背包问题，上述贪心策略首先拿走商品1，是可以生成最优解的。拿走商品1的策略对0-1背包问题无效是因为小偷无法装满背包，空闲空间降低了方案的有效每磅价值。在0-1背包问题中，当我们考虑是否将一个商品装入背包时，必须比较包含此商品的子问题的解与不包含它的子问题的解，然后才能做出选择。这会导致大量的重叠子问题——动态规划的标识。

4、分数背包代码实现

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

def fractional_backpack(goods, w):     """     贪心算法——分数背包     :param goods: 商品     :param w: 背包容量     :return:     """     m = [0 for _ in range(len(goods))]   # [0, 0, 0]     total_v = 0    # 总价值     for i, (price, weight) in enumerate(goods):         if w >= weight:             m[i] = 1             total_v += price             w -= weight         else:  # 不足1             m[i] = w / weight             total_v += m[i]*price             w = 0             break     return m, total_v   print(fractional_backpack(goods, 50))   # ([1, 1, 0.6666666666666666], 240.0)   60+100+120*2/3=60+100+80=240

三、拼接最大数字问题

　　有n个非负整数，将其按照字符串拼接的方式拼接为一个整体。如何拼接可以使得得到的整数最大？

　　例：32,94,128,1286,6,71可以拼接出的最大整数为94716321286128

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

from functools import cmp_to_key   # 传递python2中sort的cmp函数   li = [32, 94, 128, 1286, 6, 71]   def xy_cmp(x, y):     if x+y < y+x:  # 要让大的在前面，这里需要交换         return 1     elif x+y > y+x:         return -1     else:         return 0   def number_join(li):     li = list(map(str, li))   # 转换为字符串:['32', '94', '128', '1286', '6', '71']     # 方法1：cmp函数     li.sort(key=cmp_to_key(xy_cmp))  # 传递进xy_cmp函数     # 方法2：使用快排、冒泡排序等     return "".join(li)   print(number_join(li))    # 94716321286128

四、活动选择问题

　　假设有n个活动，这些互动要占用同一片场地，而场地在某时刻只能供一个活动使用。

　　每个活动都有一个开始时间s_i和结束时间f_i（题目中时间以整数表示），表示活动在[s_i, f_i)（左闭右开）区间占用场地。

　　问：安排哪些活动能够使该场地举办的活动个数最多？

　　

1、贪心结论和证明

　　贪心结论：最先结束的活动一定是最优解的一部分。

　　证明：假设a是所有活动中最先结束的活动，b是最优解中最先结束的活动。

• 如果a=b，结论成立。
• 如果a≠b，则b的结束时间一定晚于a的结束时间，则此时用a替换掉最优解中的b，a一定不与最优解中的其他活动时间重叠，因此替换后的解也是最优解。

 2、活动选择问题实现

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

activities = [(1, 4), (3, 5), (0, 6), (5, 7), (3, 9), (5, 9), (6, 10), (8, 11), (8, 12), (2, 14), (12, 16)]   # 保证活动是按照结束时间排好序的（每次选择最早结束的） activities.sort(key=lambda x: x[1]) # print(activities)   def activity_selection(a):     """     活动选择     :param a: 活动     :return:     """     res = [a[0]]  # 将最早结束的活动放入结果中     for i in range(1, len(a)):   # 对列表进行遍历（除去第一个）         if a[i][0] >= res[-1][-1]:  # 当前活动开始时间 大于等于 res最后一个活动的结束时间 因此不冲突             res.append(a[i])     return res   print(activity_selection(activities))   # [(1, 4), (5, 7), (8, 11), (12, 16)]

五、总结

　　都是最优化问题。大大提升了解决问题的速度，但是它也有一些优化问题无法解决或得到的不是最优解。

贪心算法存在的问题：

• 不能保证求得的最后解是最佳的；
• 不能用来求最大或最小解问题；
• 只能求满足某些约束条件的可行解的范围。