算法——归并和归并排序

一、归并

　　假设现在的列表分两段有序，如何将其合成为一个有序列表。这种操作称为一次归并。

1、归并过程图示

　　当一个列表两段有序合并为一个有序列表的一次归并的过程如下：

　　将列表分为两段，两个箭头分别指向每段的第一个：

　　

　　比较两段中最小的数2和1，将最小的那个值，箭头后移：

　　

　　接着比较两段中最小的数，将2取出，箭头后移，以此类推：

　　

 

2、归并代码实现

def merge(li, low, mid, high):
    """
    归并过程
    :param li:列表
    :param low:第一段第一个元素
    :param mid:第一段最后一个元素
    :param high:第二段最后一个元素
    :return:
    """
    i = low
    j = mid + 1   # 第二段第一个元素
    ltmp = []  # 新列表
    while i <= mid and j<= high:    # 只要左右两边都有数
        if li[i] < li[j]:
            ltmp.append(li[i])
            i += 1
        else:
            ltmp.append(li[j])
            j += 1
    # while执行完，肯定会有一部分没数了
    while i<= mid :   # 如果是第一部分仍有数
        ltmp.append(li[i])
        i += 1
    while j <= high:   # 如果是第二部分仍有数
        ltmp.append(li[j])
        j += 1
    # 将ltmp的值写回到li
    li[low:high+1] = ltmp   # 切片往回写


li = [2, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 8]
merge(li, 0, 3, 7)
print(li)
"""
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
"""

二、归并排序——使用归并

　　归并排序（MERGE-SORT）是利用归并的思想实现的排序方法，该算法采用经典的分治（divide-and-conquer）策略（分治法将问题分(divide)成一些小的问题然后递归求解，而治(conquer)的阶段则将分的阶段得到的各答案"修补"在一起，即分而治之)。

1、归并排序图示

　　

　　分解：将列表越分越小，直至分成一个元素。

　　终止条件：一个元素是有序的。

　　合并：将两个有序列表归并，列表越来越大。

2、归并排序代码实现

def merge(li, low, mid, high):
    """
    归并过程
    :param li:列表
    :param low:第一段第一个元素
    :param mid:第一段最后一个元素
    :param high:第二段最后一个元素
    :return:
    """
    i = low
    j = mid + 1   # 第二段第一个元素
    ltmp = []  # 新列表
    while i <= mid and j<= high:    # 只要左右两边都有数
        if li[i] < li[j]:
            ltmp.append(li[i])
            i += 1
        else:
            ltmp.append(li[j])
            j += 1
    # while执行完，肯定会有一部分没数了
    while i<= mid :   # 如果是第一部分仍有数
        ltmp.append(li[i])
        i += 1
    while j <= high:   # 如果是第二部分仍有数
        ltmp.append(li[j])
        j += 1
    # 将ltmp的值写回到li
    li[low:high+1] = ltmp   # 切片往回写


def _merge_sort(li, low, high):     # 递归函数
    """归并排序"""
    if low < high:    # 翟少有两个元素，递归
        mid = (low + high) // 2
        _merge_sort(li, low, mid)    # 把左边排好序
        _merge_sort(li, mid+1, high)   # 把右边排好序
        merge(li, low, mid, high)
        print(li[low: high+1])


def merge_sort(li):
    return _merge_sort(li, 0, len(li)-1)


li = list(range(10))
import random
random.shuffle(li)
print(li)
merge_sort(li)
print(li)
"""
[6, 2, 8, 3, 1, 9, 7, 5, 4, 0]
[2, 6]
[2, 6, 8]
[1, 3]
[1, 2, 3, 6, 8]
[7, 9]
[5, 7, 9]
[0, 4]
[0, 4, 5, 7, 9]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
"""

3、归并和归并排序时间、空间复杂度　　

　　每一层的时间复杂度是O(n)，层数是logn。因此总的时间复杂度是O(nlogn)。

　　由于merge函数创建了一个ltmp的临时空间，到最大的时候长度是n，空间复杂度是O(n)。不再是原地排序。