一元函数积分概念、计算及应用

一元函数积分学包括不定积分与定积分两部分。
定积分在几何、物理、工程技术、经济等领域均有广泛的应用，是一元积分的核心。
不定积分实质是变限的定积分，重要性在于为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具。

一、原函数与不定积分

1、原函数与不定积分的定义

若 $ F'(x)=f(x) $ 在区间 I 上成立，称 F(x) 为 f(x) 在区间 I 的原函数。
$ f(x) $ 在区间 I 中的全体原函数称为 f(x) 在区间 I 中的 不定积分，记为 $ \int f(x)dx $。

• \(\int\) 为积分号；
• \(x\) 为积分变量；
• \(f(x)\) 为被积函数；
• \(f(x)dx\) 为被积表达式。

2、原函数与不定积分的关系

若 F(x) 为 f(x) 的一个原函数，则 $ \int f(x)dx=F(x)+C $，其中 C 为任意常数，称为积分常数。

3、求不定积分与求微分的关系————互为逆运算

（1）已知与未知相反：\(dF(x)=f(x)dx\)，

• 已知 F(x) 求 \(dF(x)=f(x)dx\) 是微分运算；
• 已知 \(f(x)dx 求 F(x) 使得 dF(x)=f(x)dx\) 是积分运算。

（2）

\[(\int f(x)dx)'=f(x) \quad 或\quad d\int f(x)dx=f(x)dx; \]

\[\int F'(x)dx=F(x)+C \quad 或\quad \int dF(x)=F(x)+C; \]

正因为原函数与导函数有互逆关系，而且不定积分就是全体原函数，所以对应于基本初等函数的导数公式，就有相应的基本积分公式：

\[\int 0 \cdot dx=C; \quad \int x^kdx= \frac{1}{1+k}x^{k+1}+C \quad (k \neq -1) \]

\[\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C; \quad \int a^xdx= \frac{a^x}{lna}+C; \quad \int e^xdx=e^x+C \]

\[\int sinxdx=-cosx+C; \quad \int cosxdx=sinx+C \]

\[\int tanxdx=-ln|cosx|+C; \quad \int cotxdx=ln|sinx|+C \]

\[\int secxdx=ln|secx+tanx|+C; \quad \int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C \]

\[\int secxtanxdx=secx+C; \quad \int cscxcotdx=-cscx+C \]

\[\int shxdx=chx+C; \quad \int chxdx=shx+C \]

\[\int \frac{1}{cos^2x}dx= \int sec^2xdx=tanx+C; \quad \int \frac{1}{sin^2x}dx= \int csc^2xdx=-cotx+C \]

\[\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=arcsinx+C; \quad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin \frac{x}{a}+C \]

\[\int \frac{dx}{1+x^2}=arctanx+C; \quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}=ln|x+ \sqrt{x^2+a^2}|+C \]

\[\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arctan \frac{x}{a}+C; \quad \int \frac{dx}{a^2-x^2}= \frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C \]

4、不定积分的简单性质

设 f(x)、g(x) 在区间 I 上存在原函数，则在区间 I 上：

\[(1) \int (f(x)+g(x))dx= \int f(x)dx + \int g(x)dx; \quad \int (f(x)-g(x))dx= \int f(x)dx - \int g(x)dx \]

\[(2) \int kf(x)dx=k \int f(x)dx \quad (k \neq 0 为常数) \]

\[(3) (\int f(x)dx)'=f(x) \quad 或 \quad \int dF(x)=F(x)+C \]

5、原函数的存在性

f(x) 连续时原函数存在的充分非必要条件：

• 设 f(x) 在区间 I 上连续，则 f(x) 在区间 I 上存在原函数；
• 若 f(x) 在区间 I 上有第一类间断点，则 f(x) 在 I 上部存在原函数；
• 若 f(x) 在区间 I 上存在原函数，且存在间断点，间断点为第二类间断点。

6、原函数几何意义和力学意义

设 f(x) 在 \([a,b]\) 上连续，则由曲线 $ y=f(x), x轴及直线 x=a，x=x $ 围成的曲边梯形的面积函数是 f(x) 的一个原函数。
若 x 为时间变量，f(x) 为直线运动的物体的速度函数，则 f(x) 的原函数就是路程函数。

7、初等函数的原函数

初等函数在定义域区间上连续，因而一定存在原函数，但它的原函数不一定是初等函数。如：

\[\int e^{-x^2}dx，\int \frac{sinx}{x}dx，\int \frac{cosx}{x}dx， \int sin(x^2)dx， \int cos(x^2)dx， \int \frac{dx}{lnx} \]

等均积不出来，即被积函数存在原函数，但是原函数不是初等函数。

• 初等函数的原函数不一定为初等函数。

二、定积分概念和基本性质

1、定积分定义

f(x) 在 [a,b] 上的定积分为 $ \int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda \to 0} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(\xi) \triangle x_i $，其中 $ \lambda= \underset {1 \leq i \leq n}{max} { \triangle x_i } $。f(x) 在 [a,b] 存在定积分，也称 f(x) 在 [a,b] 可积。

（1）可积的充分条件

1. 设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 f(x) 在 [a,b] 上可积；
2. 设函数 f(x) 在 [a,b] 上有界，且只有有限个间断点，则 f(x) 在 [a,b] 上可积；
3. 设函数 f(x) 在 [a,b] 上单调，则 f(x) 在 [a,b] 上可积。

（2）可积的必要条件

函数 f(x) 在 [a,b] 上可积，则 f(x) 在 [a,b] 上有界。

（3）定积分注意要点

1. 定积分要求积分区间有限，被积函数有界；
2. 定积分是积分和 $ \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i) \triangle x_i $ 的极限，构造积分和时，分割与点 $ \xi_i $ 的选取都是任意的，所谓取极限是指当 $ \lambda=max{ \triangle x_i } \to 0 $ 时的极限；
3. 定积分的值与积分变量的选取无关，只与被积函数及积分区间有关，所以 $ \int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{b}f(t)dt $
4. 原函数与可积之间没有必然的联系。

（4）定积分的几何意义与力学意义

设 f(x) 在 [a,b] 上连续，$ \int_{a}^{b}f(x)dx $ 在几何上表示界于 x 轴，曲线 \(y=f(x)\) 及直线 \(x=a\)，\(x=b\) 之间各部分面积的代数和，在 x 轴上方取正好，在 x 轴下方取负号。

若 x 为时间变量，f(x) 为作直线运动的物体的速度函数，则 \(\int_{a}^{b}f(x)dx\) 就是物体从时刻 a 到 b 所走过的路程。

（5）不定积分与变限定积分的关系

设 f(x) 在区间 I 上连续，则 $ \int f(x)dx= \int_{x_0}^{x}f(t)dt+C $，其中 $ x_0 \in I $ 为某定值。

2、定积分的基本性质

当 \(b<a\) 时，约定 $ \int_{a}^{b}f(x)dx=- \int_{b}^{a}f(x)dx $。

特别地，当 a=b 时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx=0\).

设 f(x)，g(x) 在 [a,b] 上可积，则：

（1）线性性质

\[\int_a^b[k_1f(x) \pm k_2g(x)]dx = k_1 \int_a^bf(x)dx \pm k_2 \int_a^bg(x)dx，其中 k_1，k_2 为任意常数。 \]

（2）对区间的可加性质

\[\int_a^bf(x)dx= \int_a^cf(x)dx+ \int_c^bf(x)dx \quad (c可以在[a,b]内，也可以在[a,b]之外，f(x)在大的区间上可积) \]

（3）比较定理

\[设 a<b，f(x) \leq g(x) \quad (a \leq x \leq b)，则 \int_a^bf(x)dx \leq \int_a^bg(x)dx； \]

\[若又有 f(x)，g(x) 在 [a,b]上连续，f(x) \cancel{\equiv} g(x)，则 \int_a^bf(x)dx < \int_a^bg(x)dx； \]

\[特别地，m \underset{\neq}{\leq} f(x) \underset{\neq}{\leq} M，则 m(b-a) < \int_a^bf(x)dx < M(b-a) \quad (M，m分别是f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值) \]

（4）积分中值定理

（5）连续非负函数的积分性质