一元函数积分学包括不定积分与定积分两部分。
定积分在几何、物理、工程技术、经济等领域均有广泛的应用,是一元积分的核心。
不定积分实质是变限的定积分,重要性在于为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具。
一、原函数与不定积分
1、原函数与不定积分的定义
若 F′(x)=f(x) 在区间 I 上成立,称 F(x) 为 f(x) 在区间 I 的原函数
。
f(x) 在区间 I 中的全体原函数称为 f(x) 在区间 I 中的 不定积分
,记为 ∫f(x)dx。
- ∫ 为积分号;
- x 为积分变量;
- f(x) 为被积函数;
- f(x)dx 为被积表达式。
2、原函数与不定积分的关系
若 F(x) 为 f(x) 的一个原函数,则 ∫f(x)dx=F(x)+C,其中 C 为任意常数,称为积分常数
。
3、求不定积分与求微分的关系————互为逆运算
(1)已知与未知相反:dF(x)=f(x)dx,
- 已知 F(x) 求 dF(x)=f(x)dx 是微分运算;
- 已知 f(x)dx求F(x)使得dF(x)=f(x)dx 是积分运算。
(2)
(∫f(x)dx)′=f(x)或d∫f(x)dx=f(x)dx;
∫F′(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C;
正因为原函数与导函数有互逆关系,而且不定积分就是全体原函数,所以对应于基本初等函数的导数公式,就有相应的基本积分公式:
∫0⋅dx=C;∫xkdx=11+kxk+1+C(k≠−1)
∫1xdx=ln|x|+C;∫axdx=axlna+C;∫exdx=ex+C
∫sinxdx=−cosx+C;∫cosxdx=sinx+C
∫tanxdx=−ln|cosx|+C;∫cotxdx=ln|sinx|+C
∫secxdx=ln|secx+tanx|+C;∫cscxdx=ln|cscx−cotx|+C
∫secxtanxdx=secx+C;∫cscxcotdx=−cscx+C
∫shxdx=chx+C;∫chxdx=shx+C
∫1cos2xdx=∫sec2xdx=tanx+C;∫1sin2xdx=∫csc2xdx=−cotx+C
∫dx√1−x2=arcsinx+C;∫dx√a2−x2=arcsinxa+C
∫dx1+x2=arctanx+C;∫dx√x2±a2=ln|x+√x2+a2|+C
∫dxa2+x2=1aarctanxa+C;∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C
4、不定积分的简单性质
设 f(x)、g(x) 在区间 I 上存在原函数,则在区间 I 上:
(1)∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx;∫(f(x)−g(x))dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx
(2)∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k≠0为常数)
(3)(∫f(x)dx)′=f(x)或∫dF(x)=F(x)+C
5、原函数的存在性
f(x) 连续时原函数存在的充分非必要条件:
- 设 f(x) 在区间 I 上连续,则 f(x) 在区间 I 上存在原函数;
- 若 f(x) 在区间 I 上有
第一类间断点
,则 f(x) 在 I 上部存在原函数;
- 若 f(x) 在区间 I 上存在原函数,且存在间断点,间断点为
第二类间断点
。
6、原函数几何意义和力学意义
设 f(x) 在 [a,b] 上连续,则由曲线 y=f(x),x轴及直线x=a,x=x 围成的曲边梯形的面积函数是 f(x) 的一个原函数。
若 x 为时间变量
,f(x) 为直线运动的物体的速度函数
,则 f(x) 的原函数就是路程函数
。
7、初等函数的原函数
初等函数在定义域区间上连续,因而一定存在原函数
,但它的原函数不一定是初等函数。如:
∫e−x2dx,∫sinxxdx,∫cosxxdx,∫sin(x2)dx,∫cos(x2)dx,∫dxlnx
等均积不出来,即被积函数存在原函数,但是原函数不是初等函数。
二、定积分概念和基本性质
1、定积分定义
f(x) 在 [a,b] 上的定积分为 ∫baf(x)dx=limλ→0n∑i=1f(ξ)△xi,其中 λ=max1≤i≤n△xi。f(x) 在 [a,b] 存在定积分,也称 f(x) 在 [a,b] 可积
。
(1)可积的充分条件
- 设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续,则 f(x) 在 [a,b] 上可积;
- 设函数 f(x) 在 [a,b] 上有界,且只有有限个间断点,则 f(x) 在 [a,b] 上可积;
- 设函数 f(x) 在 [a,b] 上单调,则 f(x) 在 [a,b] 上可积。
(2)可积的必要条件
函数 f(x) 在 [a,b] 上可积,则 f(x) 在 [a,b] 上有界。
(3)定积分注意要点
- 定积分要求积分区间有限,被积函数有界;
- 定积分是积分和 ∑ni=1f(ξi)△xi 的极限,构造积分和时,分割与点 ξi 的选取都是任意的,所谓取极限是指当 λ=max△xi→0 时的极限;
- 定积分的值与积分变量的选取无关,只与被积函数及积分区间有关,所以 ∫baf(x)dx=∫baf(t)dt
- 原函数与可积之间没有必然的联系。
(4)定积分的几何意义与力学意义
设 f(x) 在 [a,b] 上连续,∫baf(x)dx 在几何上表示界于 x 轴,曲线 y=f(x) 及直线 x=a,x=b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方取正好,在 x 轴下方取负号。
若 x 为时间变量,f(x) 为作直线运动的物体的速度函数,则 ∫baf(x)dx 就是物体从时刻 a 到 b 所走过的路程。
(5)不定积分与变限定积分的关系
设 f(x) 在区间 I 上连续,则 ∫f(x)dx=∫xx0f(t)dt+C,其中 x0∈I 为某定值。
2、定积分的基本性质
当 b<a 时,约定 ∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx。
特别地,当 a=b 时,∫baf(x)dx=0.
设 f(x),g(x) 在 [a,b] 上可积,则:
(1)线性性质
∫ba[k1f(x)±k2g(x)]dx=k1∫baf(x)dx±k2∫bag(x)dx,其中k1,k2为任意常数。
(2)对区间的可加性质
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx(c可以在[a,b]内,也可以在[a,b]之外,f(x)在大的区间上可积)
(3)比较定理
设a<b,f(x)≤g(x)(a≤x≤b),则∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx;
若又有f(x),g(x)在[a,b]上连续,f(x)\cancel≡g(x),则∫baf(x)dx<∫bag(x)dx;
特别地,m≤≠f(x)≤≠M,则m(b−a)<∫baf(x)dx<M(b−a)(M,m分别是f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值)
(4)积分中值定理
(5)连续非负函数的积分性质
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2018-01-25 python作业01