一元函数积分概念、计算及应用

一元函数积分学包括不定积分与定积分两部分。
定积分在几何、物理、工程技术、经济等领域均有广泛的应用,是一元积分的核心。
不定积分实质是变限的定积分,重要性在于为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具。

一、原函数与不定积分

1、原函数与不定积分的定义

F(x)=f(x) 在区间 I 上成立,称 F(x) 为 f(x) 在区间 I 的原函数
f(x) 在区间 I 中的全体原函数称为 f(x) 在区间 I 中的 不定积分,记为 f(x)dx

  • 为积分号;
  • x 为积分变量;
  • f(x) 为被积函数;
  • f(x)dx 为被积表达式。

2、原函数与不定积分的关系

若 F(x) 为 f(x) 的一个原函数,则 f(x)dx=F(x)+C,其中 C 为任意常数,称为积分常数

3、求不定积分与求微分的关系————互为逆运算

(1)已知与未知相反:dF(x)=f(x)dx

  • 已知 F(x) 求 dF(x)=f(x)dx 是微分运算;
  • 已知 f(x)dxF(x)使dF(x)=f(x)dx 是积分运算。

(2)

(f(x)dx)=f(x)df(x)dx=f(x)dx;

F(x)dx=F(x)+CdF(x)=F(x)+C;

正因为原函数与导函数有互逆关系,而且不定积分就是全体原函数,所以对应于基本初等函数的导数公式,就有相应的基本积分公式:

0dx=C;xkdx=11+kxk+1+C(k1)

1xdx=ln|x|+C;axdx=axlna+C;exdx=ex+C

sinxdx=cosx+C;cosxdx=sinx+C

tanxdx=ln|cosx|+C;cotxdx=ln|sinx|+C

secxdx=ln|secx+tanx|+C;cscxdx=ln|cscxcotx|+C

secxtanxdx=secx+C;cscxcotdx=cscx+C

shxdx=chx+C;chxdx=shx+C

1cos2xdx=sec2xdx=tanx+C;1sin2xdx=csc2xdx=cotx+C

dx1x2=arcsinx+C;dxa2x2=arcsinxa+C

dx1+x2=arctanx+C;dxx2±a2=ln|x+x2+a2|+C

dxa2+x2=1aarctanxa+C;dxa2x2=12aln|a+xax|+C

4、不定积分的简单性质

设 f(x)、g(x) 在区间 I 上存在原函数,则在区间 I 上:

(1)(f(x)+g(x))dx=f(x)dx+g(x)dx;(f(x)g(x))dx=f(x)dxg(x)dx

(2)kf(x)dx=kf(x)dx(k0)

(3)(f(x)dx)=f(x)dF(x)=F(x)+C

5、原函数的存在性

f(x) 连续时原函数存在的充分非必要条件:

  • 设 f(x) 在区间 I 上连续,则 f(x) 在区间 I 上存在原函数;
  • 若 f(x) 在区间 I 上有第一类间断点,则 f(x) 在 I 上部存在原函数;
  • 若 f(x) 在区间 I 上存在原函数,且存在间断点,间断点为第二类间断点

6、原函数几何意义和力学意义

设 f(x) 在 [a,b] 上连续,则由曲线 y=f(x),x线x=ax=x 围成的曲边梯形的面积函数是 f(x) 的一个原函数。
若 x 为时间变量,f(x) 为直线运动的物体的速度函数,则 f(x) 的原函数就是路程函数

7、初等函数的原函数

初等函数在定义域区间上连续,因而一定存在原函数,但它的原函数不一定是初等函数。如:

ex2dxsinxxdxcosxxdxsin(x2)dxcos(x2)dxdxlnx

等均积不出来,即被积函数存在原函数,但是原函数不是初等函数。

  • 初等函数的原函数不一定为初等函数。

二、定积分概念和基本性质

1、定积分定义

f(x) 在 [a,b] 上的定积分为 abf(x)dx=limλ0i=1nf(ξ)xi,其中 λ=max1inxi。f(x) 在 [a,b] 存在定积分,也称 f(x) 在 [a,b] 可积

(1)可积的充分条件

  1. 设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续,则 f(x) 在 [a,b] 上可积;
  2. 设函数 f(x) 在 [a,b] 上有界,且只有有限个间断点,则 f(x) 在 [a,b] 上可积;
  3. 设函数 f(x) 在 [a,b] 上单调,则 f(x) 在 [a,b] 上可积。

(2)可积的必要条件

函数 f(x) 在 [a,b] 上可积,则 f(x) 在 [a,b] 上有界。

(3)定积分注意要点

  1. 定积分要求积分区间有限,被积函数有界;
  2. 定积分是积分和 i=1nf(ξi)xi 的极限,构造积分和时,分割与点 ξi 的选取都是任意的,所谓取极限是指当 λ=maxxi0 时的极限;
  3. 定积分的值与积分变量的选取无关,只与被积函数及积分区间有关,所以 abf(x)dx=abf(t)dt
  4. 原函数与可积之间没有必然的联系。

(4)定积分的几何意义与力学意义

设 f(x) 在 [a,b] 上连续,abf(x)dx 在几何上表示界于 x 轴,曲线 y=f(x) 及直线 x=ax=b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方取正好,在 x 轴下方取负号。

若 x 为时间变量,f(x) 为作直线运动的物体的速度函数,则 abf(x)dx 就是物体从时刻 a 到 b 所走过的路程。

(5)不定积分与变限定积分的关系

设 f(x) 在区间 I 上连续,则 f(x)dx=x0xf(t)dt+C,其中 x0I 为某定值。

2、定积分的基本性质

b<a 时,约定 abf(x)dx=baf(x)dx

特别地,当 a=b 时,abf(x)dx=0.

设 f(x),g(x) 在 [a,b] 上可积,则:

(1)线性性质

ab[k1f(x)±k2g(x)]dx=k1abf(x)dx±k2abg(x)dxk1k2

(2)对区间的可加性质

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx(c[a,b][a,b]f(x))

(3)比较定理

a<bf(x)g(x)(axb)abf(x)dxabg(x)dx

f(x)g(x)[a,b]f(x)\cancelg(x)abf(x)dx<abg(x)dx

mf(x)Mm(ba)<abf(x)dx<M(ba)(Mmf(x)[a,b])

(4)积分中值定理

(5)连续非负函数的积分性质

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