一元函数的导数与微分

一、一元函数的导数与微分

一元函数的导数是一类特殊的函数极限，也是一类 $\frac{0}{0}$ 型极限（函数增量与自变量增量之比当自变量趋于零时的极限）。

在几何上函数的导数即曲线的切线的斜率。导数在几何上的应用就是求曲线的切线或法线的斜率。

在力学上路程函数的导数就是速度。

函数的可导性是比连续性更强的性质，因为可导必连续。

求一元函数的导数与微分的方法是相同的，因此把求导数与求微分的法则统称为微分法则。

1、导数的定义

（1）定义1：$f(x) 在 x_0 处可导$

设函数 $y=f(x) 在 x_0$ 的某邻域有定义，若下面极限存在

$$\lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_0+ \triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}，$$

其中 $\triangle y=f(x_0 + \triangle x) - f(x_0) ，则称 f(x) 在 x_0 可导，并称这个极限为 f(x) 在 x_0 处的$ 导数（或微商），记作 $ f'(x_0)，y'(x_0) 或 \frac{dy}{dx} |{x=x_0}，\frac{df(x)}{dx} | 等。 $令$ x=x_0 + \triangle x，f'(x_0) 又可改写成 f'(x_0)= \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}。 $

（2）定义2：$f(x) 在 x_0 处左右可导$

设函数 $y=f(x) 在 x_0 处存在如下单侧极限：$

$$\lim_{\triangle x \to 0+} \frac{\triangle y}{\triangle x}= \lim_{\triangle x \to 0+} \frac{f(x_0+ \triangle x)-f(x_0)}{ \triangle x } ， \quad \lim_{\triangle x \to 0-} \frac{\triangle y}{\triangle x}= \lim_{\triangle x \to 0-} \frac{f(x_0+ \triangle x)-f(x_0)}{ \triangle x }，$$

其中 $\triangle y = f(x_0+ \triangle x)-f(x_0)，则分别称为 f(x) 在 x=x_0$ 左、右可导，该极限分别称为 $f(x) 在 x=x_0 的$ 右、左导数，记为 $ f'+(x_0)，f'_(x_0) 或 y'+(x_0)，y'_(x_0)。 $

（3）几何意义

$函数 y=f(x) 在 x=x_0 处的导数 f'(x_0) 是曲线 y=f(x) 在点 (x_0, f(x_0)) 处切线的斜率。$
切线方程：$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$
法线方程：$y-y_0=- \frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)，\quad (f'(x_0) \neq 0 时)$

（4）力学意义

质点作为直线运动，t时刻质点的坐标为 $x=x(t)，x'(t_0) 是 t=t_0 时刻的速度。$
速度（描述质点运动快慢和方向的物理量，等于位移对时间的微分）：$v= \frac{ds}{dt}$，其中v是速度矢量、s是位移矢量、t是时间。
加速度（平均加速度的极限，也叫瞬时加速度）：

$$a = \frac{dv}{ds}= \frac{d^2s}{dt^2}$$

单位是米每二次方秒，符号为 $m/s^2$。加速度(acceleration)是速度对时间的变化率，表示速度变化的快慢。加速度矢量等于速度矢量对时间的导数，其方向沿着速端图的切线方向并指向轨迹的凹侧。

（5）单侧可导和双侧可导的关系

定理：$f(x) 在 x_0 可导 \iff f(x) 在 x_0$ 左右导数均存在且相等，即

$$f'(x_0)=f'_+(x_0)=f'_\_(x_0)$$

2、可微的定义

定义：设函数 $y=f(x)，当自变量 x=x_0 有增量 \triangle x 时，若存在与 \triangle x 无关的常数 A(x_0)，使得函数的增量 \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0) 可表为$

$$\triangle y= A(x_0)\triangle x + o(\triangle x) \quad (\triangle x \to 0)$$

则称 $f(x) 在 x=x_0 处 \color{red}{可微} ，A(x_0) \triangle x 称为 f(x) 在 x=x_0 处的 \color{red}{微分} ，记为$

$$dy|_{x=x_0}=A(x_0) \triangle x \quad 或 \quad df|_{x=x_0}=A(x_0) \triangle x$$

其中 $o(\triangle x) 是 \triangle x \to 0 时比 \triangle x 高阶的无穷小量。$
函数 $y=f(x) 在 x=x_0 处的微分是该函数在 x=x_0 处函数增量的线性主要部分$

（1）可微、可导及连续之间的关系

定理：f(x) 在 $x_0 可导 \iff f(x)在x_0 可微 \overset{\Rightarrow}{\nLeftarrow} f(x)在 x=x_0 连续。$

• 可导和可微是等价的概念；
• 可导和可微是连续的充分非必要条件。如：$y=|x| 与 y= x^{\frac{1}{3}} 在 x=0 处连续，但不可导。$

$$y=f(x)在 x_0 可微时，dy|_{x=x_0}=f'(x_0) \triangle x=f'(x_0)dx \quad (规定自变量 x 的微分 dx=\triangle x)$$

（2）微分的几何意义

$\triangle y = f(x_0 + \triangle x)-f(x_0) 是曲线 y=f(x) 在点 x_0 处相应于自变量增量 \triangle x 的纵坐标 f(x_0) 的增量，微分 dy|_{x=x_0} 是曲线 y=f(x) 在点 M_0(x_0, f(x_0)) 处的切线相应于自变量增量 \triangle x 的纵坐标的增量。$

3、函数在区间上的可导性、导函数

$若 \forall x \in (a,b)，f(x) 可导，则称 f(x) 在 (a,b)$ 内可导。
$若 f(x) 在 (a,b)内可导，又 f(x) 在 x=a 处右可导，在 x=b 处左可导，则称 f(x) 在 [a,b]$ 可导。

（1）导函数

$ 若 f(x) 在区间 I 可导，则 \forall x \in I，都对应着 f(x) 的一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，叫做 y=f(x) 的导函数 $，简称 `导数`，也叫 `一阶导数`。记作：$ y'，f'(x)，\frac{dy}{dx} 或 \frac{df(x)}{dx} $。

（2）二阶导数及高阶导数

$ 函数 y=f(x) 的导数仍是 x 的函数，把 y'=f'(x) 的导数，叫做 y=f(x) 的二阶导数，记作 y'' 或 y^(2)，f''(x) 或 f^(2)(x) 或 \frac{d^2y}{dx2} 等。 $

$ 函数 y=f(x) 的 n-1 阶导数的导数称为 y=f(x) 的 n 阶导数，记作 y^(n)，y(n)(x) 或 \frac{d^ny}{dxn}。 $

$函数 f(x) 有 n 阶导数也称 f(x) n 阶可导。$

根据定义，若 $f(x) 在 x_0 处 n 阶可导，则 f(x) 在 x_0$ 某领域必具有一切低于 n 阶的导数。

（3）二阶导数的力学意义

质点作直线运动，t 时刻的坐标为 $x=x(t)，则 x''(t_0) 是 t=t_0$ 时刻的加速度。

（4）奇偶函数的导数性质

设 $f(x)在 I$ 上可导，

• $若 f(x) 在 I 上为奇函数 \implies f'(x) 在 I 上为偶函数。$
• $若 f(x) 在 I 上为偶函数 \implies f'(x) 在 I 上为奇函数。$

若 f(x) 存在原函数，其特性：

• 奇函数的原函数为偶函数。
• 偶函数的原函数仅有一个奇函数。

（5）周期函数的导数性质

设 $f(x) 在 X 上可导，以 T 为周期 \implies f'(x) 在 X 上也以 T 为周期。$

• 周期函数的导函数是和原函数有相同周期的周期函数
• 周期函数的原函数不一定是周期函数，如 $f(x)=1+cosx 以 2 \pi为周期，F(x)=x+sinx则无周期。$

二、按定义求导数及其适用情形

按定义求一元函数 $y=f(x) 在某点 x=x_0 处的导数，就是求 \frac{0}{0} 型极限，即求：$

$$\lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x+ \triangle x) -f(x)}{\triangle x}$$

若 $\triangle x \to 0 时，f(x+\triangle x)-f(x) 不是无穷小量，则 f'(x) 不存在。$

1、按定义求导数适用的情形

（1）情形1

除了常数函数外还有某些基本初等函数得导数公式，如：$(sinx)'=cosx，(lnx)'= \frac{1}{x}$ 等均按定义导出。（其他基本初等函数的导数公式可由这两个导数公式及求导法则导出）

（2）情形2

求导法则不能用的情形：如设 $f(x)=(x-a) \varphi(x)，\varphi(x) 在 x=a 处连续，试问 f(x) 在 x=a 处是否可导？$ 这里乘积的求导法则不适用。因为不知道 $\varphi(x) 在 x=a$ 处是否可导。

（3）情形3

求某类分段函数在连接点处的导数。

2、利用导数定义求极限

设 $f'(x)$ 存在，若所求极限可化为如下类型：

$$\lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x+ \triangle x)-f(x)}{\triangle x}$$

则按导数定义即是 $f'(x)$。
由数列极限与函数极限的关系可得到

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{f(x+x_n)-f(x)}{x_n}=f'(x) ，其中 \lim_{n \to +\infty}x_n=0$$

三、求导法则

求导法则分如下几种情况：

1. 导数四则运算法则
2. 复合函数求导法则
   • 幂指数函数求导
   • 反函数求导
   • 隐函数求导
   • 参数式求导
   • 变限积分求导
3. 分段函数的求导

1、基本初等函数导数表（微分表）

$$常数：(c)'=0 \quad (c为常数)，\quad 幂函数：(x^\alpha)'=\alpha x^{(\alpha-1)}，$$

$$正弦函数： (sinx)'=cosx，\quad 余弦函数： (cosx)'=-sinx$$

$$正切函数：(tanx)'=(\frac{sinx}{cosx})'= \frac{(sinx)'*cosx-sinx*(cosx)'}{cos^2x}= \frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}= \frac{1}{cos^2x}, \quad 余切函数：(cotx)'=- \frac{1}{sin^2x}$$

$$正割函数：(secx)'=secxtanx, \quad 余割函数：(cscx)'=-cscxcotx$$

$$对数函数：(log_ax)'= \frac{lnx}{lna}= \frac{1}{xlna} \quad (a>0,a \neq 1)， \quad (lnx)'= \frac{1}{x}$$

$$指数函数：\quad (a^x)'=\frac{1}{(log_aa^x)'}=\frac{a^x}{log_ae}=a^x*log_ea=a^xlna ，\quad (e^x)'=e^xlne=e^x$$

$$反正弦函数：(arcsinx)'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad 反余弦函数：(arccosx)'= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$反正切函数：(arctanx)'= \frac{1}{1+x^2} \quad 反余切函数：(arccotx)'= -\frac{1}{1+x^2}$$

$$双曲线函数：(shx)'=chx$$

（1）对数运算法则

$$log_aM \cdot N= log_a M + log_a N, \quad log_a \frac{M}{N}=log_a M - log_a N$$

$$log_a M^n=nlog_aM, \quad log_ab*log_ba=1, \quad log_ab= \frac{log_cb}{log_ca}$$

（2）指数运算法则

$$a^M*a^N=a^{M+N}, \quad \frac{a^M}{a^N}=a^{M-N}, \quad (a^M)^N=a^{MN}, \quad (ab)^M=a^M*b^M$$

2、导数与微分的四则运算法则

设 $u(x)和v(x)在x处可导，则：$

$$加减法：[u(x) \pm v(x)]'=u'(x) \pm v'(x)$$

$$乘法：[cu(x)]'=cu'(x), \quad [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$$

$$除法：[\frac{1}{v(x)}]'= \frac{-v'(x)}{v^2(x)}, \quad [\frac{u(x)}{v(x)}]'= \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \quad (v(x) \neq 0)$$

设 $f(x)和g(x)在x处可微，则：$

$$加减法：d[f(x) \pm g(x)]=df(x) \pm dg(x)$$

$$乘法：d[f(x)g(x)]=g(x)df(x) + f(x)dg(x)$$

$$除法：d[\frac{f(x)}{g(x)}]= \frac{g(x)df(x)-f(x)dg(x)}{g^2(x)}，\quad (g(x) \neq 0)$$

3、复合函数的导数和微分法则

定理：$设 \varphi(x)在 x 处可导，y=f(u) 在对应点 u= \varphi(x) 处可导，则复合函数 y=f(\varphi(x)) 在 x 处可导 且 \quad \frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du} * \frac{du}{dx} \quad 或 \quad y'_x=y'_uu'_x \quad 或 \quad y'_x=f'(u)\varphi'(x)。$

用微分表示 $dy=f'(u)du$，其中 u 可以是自变量也可以是另一变量的可微函数————这就是一阶微分形式的不变性。

（1）多层复合函数

若是多层复合函数，则可 逐次 用复合函数求导法求它的导数。

如：$y=f(u)，u=g(v)，v=h(x)，构成复合函数 y=f(g(h(x)))。若 v 在 x 处可导，u 在 h(x) 处可导，y 在 g(h(x)) 可导，则 复合函数 y=f(g(h(x))) 在 x 可导。且有：$

$$\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du} * \frac{du}{dv} * \frac{dv}{dx} \quad 或 \quad \frac{d}{dx}f[g(h(x))]=f'[g(h(x))] \frac{d}{dx}g(h(x))=f'[g(h(x))]g'(h(x))h'(x)$$

约定：$f'(g(x))=f'(u)|_{u=g(x)}$

（2）函数的和差积商复合函数可导，不能保证各自可导

$$f(x)=\bigg\{ \begin{matrix} 0, \quad 当x为有理数,\\ 1,\quad 当x为无理数;\end{matrix} \quad g(x)=\bigg\{ \begin{matrix} 1, \quad 当x为有理数,\\ 0,\quad 当x为无理数;\end{matrix} \quad f(x)+g(x)=1，f(x)*g(x)=0，f[g(x)]=0 都可导，但是f(x)和g(x)都不可导。$$

4、幂指数函数 $f(x)^{g(x)}$ 的求导法

设 $f(x)>0，f(x)，g(x)$ 均可导：

（1）将$f(x)^{g(x)}$ 表成 $e^{g(x)lnf(x)}$ 后求导

对 $ f(x)^{g(x)}=e $ 用复合函数求导法得：

$$[f(x)^{g(x)}]'=[e^{g(x)lnf(x)}]'=e^{g(x)lnf(x)}[{g(x)lnf(x)}]'=f(x)^{g(x)}[g'(x)lnf(x)+\frac{g(x)}{f(x)}f'(x)]$$

（2）对数求导法

1. 第一步两边取对数：对 $y=f(x)^{g(x)}$ 两边取对数，得 $lny=g(x)lnf(x)$。
2. 第二步两边对 x 求导： $$\frac{y'}{y}=g'(x)lnf(x)+g(x) \frac{f'(x)}{f(x)}$$ ,其中 y 是 x 的函数。
3. 第三步把y换到右边： $$y'=f(x)^{g(x)}[g'(x)lnf(x)+g(x) \frac{f'(x)}{f(x)}]$$

（3）对数求导法求连乘积的导数或微分

如：$ y=f_1(x)f_2(x) \cdots *f_n(x) $

1. 第一步两边取绝对值再取对数： $$ln|y|=ln|f_1(x)|+ln|f_2(x)|+ \cdots +ln|f_n(x)|$$
2. 第二步两边对x求导化掉绝对值符号： $$\frac{1}{y}y'= \frac{f_1'(x)}{f_1(x)}+ \cdots + \frac{f_n'(x)}{f_n(x)}，\quad 即 y'=y[\frac{f_1'(x)}{f_1(x)}+ \cdots + \frac{f_n'(x)}{f_n(x)}]$$

5、反函数求导法

定理：设 $y=f(x) 在区间 I_x 内可导且 f'(x) \neq 0，值域为区间 I_y，则 y=f(x) 的反函数 x=\varphi(y) 在 I_y 可导且 \varphi'(y)= \frac{1}{f'(x)}。$

6、由参数方程确定的函数的求导法

给定参数方程 $x= \varphi(t)，y= \psi(t)，t \in 区间I。$

（1）若 $x=\varphi(t)是区间I上的单调函数$

则它存在反函数 $t=\varphi^{-1}(x)，$ 参数方程确定了 y 是 x 的函数 $y=\psi(\varphi^{-1}(x))，$ 定义域是 $x=\varphi(t) 在区间 I 上的值域 X.$

（2）设 $\varphi(t)，\psi(t)在区间 I 上连续$

则 $y=\psi(varphi)^{-1}(x) 在 X 上连续。$

（3）设 $\varphi(t)，\psi(t)在t \in I 可导且 \varphi'(t) \neq 0$

则 $y=\psi(varphi)^{-1}(x) 在对应点 x=\varphi(t) 可导且 \frac{dy}{dx}= \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$

若 $\psi(t), \varphi(t) 在 t \in I$ 二阶可导，可进一步求得二阶导数：

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}[\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}]=\frac{d}{dt}[\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}]\frac{dt}{dx}= \frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{\varphi^{'3}(t)}$$

7、变限积分的求导法

定理：设 $f(t) 在 [a,b] 连续，\psi(x) 和 \varphi(x) 在 [\alpha,\beta]可导，当 x \in [\alpha,\beta] 时，\alpha \leq \varphi(x)，\psi(x) \leq b，则 y= \int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt 在 [\alpha,\beta]可导，且$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)}f(t)dt- \frac{d}{dx}\int_a^{\psi(x)}f(t)dt=f(\varphi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)$$

8、隐函数微分法

设有二元方程 $ F(x,y)=0(如x^2+y2=1,x-y+\frac{1}{2}siny=0) $，若在区间 I 上存在函数 $y=y(x) 满足 F(x,y(x))=0，则称这个函数 y=y(x) 为方程 F(x,y)=0 在区间 I$ 上确定的 隐函数。

若该隐函数可导，则由 $F(x,y(x))=0$ 和 复合函数求导法则可求得 y' 或 dy 所满足的方程，再解出 y' 或 dy。
将 y' 表达式或 y' 满足的方程再对 x 求导，由复合函数求导法可求得 y''。

四、分段函数求导法

分段函数：函数在定义域的不同区间上有不同的表达式。

常见的有（$x=x_0为连接点$）：

$$f(x)= \bigg\{ \begin{matrix} g(x), \quad x \leq x_0,\\ h(x), \quad x > x_0, \end{matrix} \quad f(x)= \bigg\{ \begin{matrix} g(x), \quad x < x_0,\\ A, \quad x=x_0, \\ h(x), \quad x > x_0, \end{matrix} \quad f(x)= \bigg\{ \begin{matrix} g(x), \quad x \neq x_0,\\ A, \quad x = x_0, \end{matrix}$$

分段函数求导法的关键就是：如何求连接点处的导数。

1、方法一：按求导法则分别求分段函数在连接点处的左右导数

根据如下结论：
（1）$f'(x_0) 存在 \iff f_+'(x_0) 、f_-(x_0) 均存在且相等，即：f'(x_0)=f_+'(x_0)=f_-'(x_0)。$
（2）若在 $x_0$ 的右（或左）邻域上，$f(x)=g(x) \quad (x_0 \leq x <x_0+\delta 或 x_0-\delta< x \leq x_0)$
（3）若 g(x) 可导，则 $f_+'(x_0)=g_+'(x_0) \quad (f_-'(x_0)=g_-'(x_0))$

根据上述结论，得到如下求连接点处导数的方法：

$$设 f(x)=\bigg\{ \begin{matrix} g(x), \quad x_0-\delta < x \leq x_0,\\ h(x), \quad x_0 < x < x_0+\delta, \end{matrix} \quad \delta >0 为某常数，若 g_-'(x_0) = h_+'(x_0) \stackrel{记为}{=} A，又 g(x_0)=h(x_0)，则 f'(x_0)= A.$$

2、方法二：按定义求连接点处的导数或左右导数

设

$$f(x)= \bigg\{ \begin{matrix} g(x), \quad x_0- \delta < x < x_0,\\ A, \quad x=x_0, \\ h(x), \quad x_0 < x < x_0+ \delta, \end{matrix} \quad 其中 \delta > 0 为某常数，g(x) 与 h(x) 在 x_0 处无定义，则可按定义求 f_+'(x_0) 与 f_-'(x_0)：$$

$$f_+'(x_0)= \lim_{\triangle x \to 0+} \frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}= \lim_{\triangle x \to 0+} \frac{h(x_0+\triangle x)-A}{\triangle x},$$

$$f_-'(x_0)= \lim_{\triangle x \to 0-} \frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}= \lim_{\triangle x \to 0-} \frac{g(x_0+\triangle x)-A}{\triangle x}.$$

若上述极限存在且相等，记为 l，则 $f'(x_0)=l$。

3、方法三：连接点是连续点时，求导函数在连接点处的极限值

$设 f(x) 在 x_0 的空心领域 U_0(x_0, \delta) 内可导且 f(x) 在x_0 处连续。若存在极限 \lim_{x \to x_0}f'(x)=A，则 f'(x_0)=A。$

五、高阶导数和n阶导数的求法

对于给定的函数 $f(x)$ ，可以用逐阶求导法求出高阶导数。对于某些简单的函数则可以使用：归纳法、分解法、莱布尼茨法则、泰勒公式。

1、归纳法

先逐一求出 $y=f(x)$ 的一、二、三阶导数等，若能观察出规律性，就可写出 $y^{(n)}$ 的公式，然后用数学归纳法证明。
用归纳法易导出下列 简单的初等函数的 n 阶导数公式：

$$(e^{ax+b})^{(n)}=a^ne^{ax+b} ，\quad (\frac{1}{ax+b})^{(n)}= \frac{(-1)^na^nn!}{(ax+b)^{n+1}}， \quad (ln(ax+b))^{(n)}=(-1)^{n-1}a^n(n-1)! \frac{1}{(ax+b)^n}$$

$$(sin(ax+b))^{(n)}=a^n \sin(ax+b+\frac{n\pi}{2})，\quad (cos(ax+b))^{(n)}=a^n \cos(ax+b+\frac{n\pi}{2})，\quad ((ax+b)^{\beta})^{(n)}=a^n \beta(\beta-1) \cdots (\beta-n+1)(ax+b)^{\beta-n}$$

2、分解法

通过恒等变形式将某些函数分解成简单初等函数之和。

（1）有理函数与无理函数的分解

（2）三角函数的分解

主要利用三角函数恒等式及有关公式分解。

3、莱布尼茨法则求乘积的n阶导数

$$(u(x)v(x))^{(n)}=\sum^n_{k=0}C^k_nu^{(k)}(x)v^{(n-k)}(x)。\quad 其中 C^k_n= \frac{n!}{k!(n-k)!}，u^{(0)}(x)=u(x)，v^{(0)}(x)=v(x)$$

4、由f(x) 在 $x=x_0$ 处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系数求 $f^{(n)}(x_0)$