极限、连续相关

一、极限概念

1、极限定义

定义1： $$\lim_{n \to + \infty}x_n=A$$

• $\forall_\epsilon>0，\exists_\varepsilon$正整数N，当 n > N 时，有 $| x_n-A|< \varepsilon$。
• 若 $x_n$存在极限（有限数），又称$\{x_n\}$收敛，否则称$\{x_n\}$发散。

定义2： $$\lim_{x \to \infty}f(x)=A$$

• $\forall_\epsilon>0，\exists$ 正整数X，当 |x| > X 时，有 $| f(x)-A|<\varepsilon$。
• 类似可定义：

$$\lim_{x \to + \infty}f(x)=A，\lim_{x \to - \infty}f(x)=A$$

定义3： $$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$$

• $\forall_\epsilon>0，\exists_\varepsilon$正整数 $\delta$，当 $0< |x-x_0|< \delta$ 时，有 $| f(x)-A|<\varepsilon$。
• 类似可定义f(x)当$x \to x_0$ 时右极限与左极限：

$$f(x_0 +0)= \lim_{x \to x_0+0}=A，f(x_0-0)= \lim_{x \to x_0-0}f(x)=A$$

2、极限的基本性质

（1）数列极限的基本性质

定理1：(极限的不等式性质)，设

$$\lim_{n \to + \infty}x_n=a,\lim_{n \to + \infty}y_n=b$$

• 若 a > b，则$\exists N$，当 n > N 时，$x_n > y_n$；
• 若 n > N 时，$x_n \geq y_n$，则 $a \geq b$。

定理2：（收敛数列的有界性），设 $x_n$ 收敛，则 $x_n$ 有界（即 $\exists$ 常数M > 0，$|x_n| \leq M$，n = 1,2,...）

（2）函数极限的基本性质

定理3：（极限的不等式性质），设

$$\lim_{x \to + x_0}f(x)=A, \lim_{x \to + x_0}f(x)=B$$

• 若 A > B，则 $\exists \delta >0$，当 $0< |x-x_0|< \delta$ 时，f(x) > g(x)；
• 若 $f(x) \geq g(x)(0<|x-x_0|<\delta)$ ，则 $A \geq B$ 。

推论：（极限的保号性），设

$$\lim_{x \to x_0}f(x) =A$$

• 若 $A > 0 \implies \exists \delta > 0$，当 $0<|x-x_0|< \delta$ 时，f(x) > 0;
• 若 $f(x) \geq 0 (0<|x-x_0|< \delta)$ ，则 $A \geq 0$ 。

定理4：（存在极限的函数局部有界性），设存在极限

$$\lim_{x \to x_0}f(x) =A$$

则f(x)在$x_0$的某空心领域$U_0(x_0, \delta)= \{ x| 0<|x-x_0|< \delta \}$ 内有界，即 $\exists \delta > 0$，M > 0，使得 $0< |x-x_0|< \delta$ 时，$|f(x)| \leq M$ 。

（3）两个重要极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}=1，\lim_{x \to 0} (1+ x)^\frac{1}{x}=e （\lim_{x \to 0} (1+ \frac{1}{x})^x=e，\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+x)}{x}=1）$$

二、极限存在性判别

1、两边夹定理(夹逼定理)

定理5：（数列情形）
若 $\exists N$ ，当 n > N 时，$y_n \leq x_n \leq z_n$，且有

$$\lim_{n \to + \infty} y_n= \lim_{n \to + \infty}z_n=A，则 \lim_{n \to + \infty} x_n=A$$

定理6：（函数情形）
当 $x \in U(x_0,r)$ 时，有$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$成立，并且

$$\lim_{x \to x_0}g(x)=A , \lim_{x \to x_0}h(x)=A，那么 \lim_{x \to x_0}f(x)=A$$

（1）三角函数边与角度的关系

1. tanx = 对边 / 临边
2. sinx = 对边 / 斜边
3. cosx = 临边 / 斜边
4. cotx = 临边 / 对边

（2）极限案例

注意：由于弧长=圆心角*半径，因此弧$\mathop{AB}\limits^{\frown}$长度为x；另外线段OC的长度为cosx，BC线段长度为sinx；由于tanx=对边/临边，因此AD线段长度为tanx。

• 因此：sinx：$\sin x<x<\tan x$，$x \in U(x_0, \varepsilon)$
• 从而：$1 < x/ \sin x < 1/ \cos x$
• 即：$\cos x < \sin x /x < 1$
• 因为： $$\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$$
• 从而： $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$
• 该式将三角函数和多项式建立了极限关系

（3）思考平方

同理上式的平方依然是1，即：

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} = 1$$

2、单调有界数列必有极限（必收敛）

定理7：

• 若数列 ${x_n}$ 单调上升有上界，即$x_{n+1} \geq x_n$ (n=1,2,...)，并存在一个数M，使得对一切的 n 有$x_n \leq M$，则 $\{x_n\}$ 收敛，即存在一个数a，使得 $$\lim_{n \to + \infty}x_n = a$$ 且有 $x_n \leq a (n =1,2,...)$。

• 若数列 ${x_n}$ 单调下降有下界，即$x_{n+1} \leq x_n$ (n=1,2,...)，并存在一个数m，使得对一切的 n 有$x_n \geq m$，则 $\{x_n\}$ 收敛，即存在一个数a，使得 $$\lim_{n \to + \infty}x_n = a$$ 且有 $x_n \leq a (n =1,2,...)$。

案例：构造数列$\{ x_n \}$

（1）广义二项式定理

二项式定理（英语：binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

根据定理，可以将x+y的任意次幂展开成和的形式：

$$( x+y )^n= \bigl( \begin{matrix} n \\ 0\end{matrix} \bigr)x^ny^0+ \bigl( \begin{matrix} n \\ 1\end{matrix} \bigr)x^{n-1}y^1+ \bigl( \begin{matrix} n \\ 2\end{matrix} \bigr)x^{n-2}y^2+...+ \bigl( \begin{matrix} n \\ n-1\end{matrix} \bigr)x^1y^{n-1}+ \bigl( \begin{matrix} n \\ n\end{matrix} \bigr)x^0y^n$$

每个$\bigl( \begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \bigr)$为一个称作二项式系数的特定正整数，其等于$\frac{n!}{k!(n-k)!}$。

这个公式也称为二项式公式或二项恒等式，使用求和符号，可改写为：

$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\bigl( \begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \bigr)x^{n-k}y^k= \sum_{k=0}^n\bigl( \begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \bigr)x^ky^{n-k}$$

其中

$$\bigl( \begin{matrix} n \\ k\end{matrix} \bigr)= \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}= \frac{(n)_k}{k!}$$

3、单侧极限与双侧极限关系

定理8：

$$\lim_{x \to x_0}f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0+}f(x) = \lim_{x \to x_0-}f(x) = A$$

对于分段函数

$$f(x) = \bigg\{ \begin{matrix} g(x),x_0 - \delta < x < x_0 \\ h(x),x_0< x < x_0 + \delta \end{matrix}$$

考察 $$\lim_{x \to x_0}f(x)$$ 是否存在就要分别求：

$$\lim_{x \to x_0+}f(x) = \lim_{x \to x_0+}h(x) 与 \lim_{x \to x_0-}f(x)= \lim_{x \to x_0-}g(x)$$

三、无穷小及其阶

1、无穷小和无穷大的定义

定义1：在某一极限过程中以零为极限的变量称为无穷小（量）。

• 称 $x_n$ 为无穷小，若 $$\lim_{n \to +\infty}x_n=0$$ 记为 $x_n= o(1)(n \to + \infty)$
• 称 $x \to x_0$ 时 f(x) 为无穷小，若 $$\lim_{x \to x_0}f(x)=0$$ 记为 $f(x)=o(1),x \to x_0$

定义2：

1. 称 $x_n$ 为 无穷大（量） $$\lim_{n \to + \infty}x_n= \infty$$
   若 $ \forall M > 0 $，$ \exists $自然数N，当 n > N 时，$ |x_n| > M $。
2. 称 $x \to \infty$ 时，f(x)为 无穷大（量） $$\lim_{x \to \infty}f(x)= \infty$$
   若 $ \forall M > 0 $，$ \exists X > 0$，当$ |x| > X $时，$ |f(x)| > M $。
3. 称 $x \to x_0$ 时 f(x) 为 无穷大（量） $$\lim_{x \to x_0}f(x) = \infty$$
   若 $ \forall M > 0 $，$ \exists \delta > 0$ ，当 $0<|x-x_0|< \delta$ 时，$|f(x)|> M$

2、无穷小与无穷大，无穷小与极限的关系

$$\lim_{x \to x_0}f(x)=A \iff f(x)=A+ \alpha(x)=0$$

在同一个极限过程中，
$\bigg\{ \begin{matrix} f(x)为无穷小,f(x) \neq0,则 \frac{1}{f(x)}为无穷大 \\ f(x)为无穷大,则 \frac{1}{f(x)}为无穷小 \end{matrix}$

3、无穷小阶概念

定义3：设在同一个极限过程中，$\alpha(x), \beta(x)$ 为无穷小且存在极限 $$\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=l$$

1. 若 $l \neq 0$，称 $\alpha(x), \beta(x)$ 在该极限过程中为同阶无穷小；
2. 若 $l = 1$，称 $\alpha(x), \beta(x)$ 在该极限过程中为等阶无穷小，记为 $\alpha(x)$ ~ $\beta(x)$ （极限过程）；
3. 若 $ l = 0 $，称在该极限过程中$ \alpha(x) 是 \beta(x) $ 的 高阶无穷小，记为 $\alpha(x) = o( \beta(x))$ （极限过程）.
   • 若 $$\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}= \infty$$ 称 $\beta(x) 是 \alpha(x)$ 的高阶无穷小。
   • 若 $$\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} 不存在（不为 \infty）$$ 称 $\alpha(x)，\beta(x)$ 不可比较。

定义4：设在同一个极限过程中 $\alpha(x), \beta(x)$ 为无穷小，以$\alpha(x)$ 为基本无穷小。

• 若 $$\lim \frac{\beta(x)}{\alpha^k(x)}=l \neq 0$$ 即 $\beta(x) 与 \alpha^k(x)$ 为同阶无穷小，称 $\beta(x) 是 \alpha(x)$ 的 k 阶无穷小。
• 特别是，若 $$\lim_{x \to x_0} \beta(x)=0，又存在 \lim_{x \to x_0} \frac{\beta(x)}{(x-x_0)^k}$$ 即 $\beta(x) 与 (x-x_0)^k$ 为同阶无穷小，称 $\beta(x) 是 x-x_0$ 的 k 阶无穷小。

无穷小阶特性：

1. 无穷小比较中的 $\alpha, \beta$ 必须是在自变量相同变化趋势下的无穷小量；
2. 无穷小的比较是定性的，即只有阶的高低之别，无数量上的关系；
3. 不是任何无穷小量都可以比较其阶的高低。

4、重要的等价无穷小

在 x ——> 0时：

$$\sin x \iff x, \tan x \iff x, \arcsin x \iff x, \arctan x \iff x, \\ 1 - \cos x \iff \frac{1}{2}x^2, a^x-1 \iff xlna(a>0,a \neq1), e^x-1 \iff x ln(1+x) \iff x, \\ (1 + \beta x)^\alpha-1 \iff \alpha \beta x, \sqrt[n]{1+x} -1 \iff \frac{1}{n}x, \log_a(1+x) \iff \frac{1}{lna}x(a>0,a \neq1)。$$

5、等价无穷小的重要性质

1. $\alpha(x)$ ~ $ \beta(x) $，$ \beta(x) $~$ \gamma(x) (x \to a) \implies \alpha(x) $~$ \gamma(x)(x \to a) $.
2. $\alpha(x)$ ~ $\beta(x) (x \to a) \iff \alpha(x)= \beta(x) + o(\beta(x))(x \to a)$.
3. 求极限过程中，积、商可用等价无穷小因子替换；
4. 有限个无穷小的和依然是无穷小；
5. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小；
6. 无穷个无穷小的和或积不一定为无穷小。

6、确定无穷小阶的方法

四、求极限的方法

1、利用极限的四则运算与幂指数运算法则求极限

（1）极限的四则运算法则

• 设 $$\lim_{x \to a}f(x)=A, \lim_{x \to a}g(x)=B$$
  则 $$\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)]=A \pm B, \lim_{x \to a}[f(x) \cdot g(x)]$$

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{A}{B}(B \neq 0 ), \lim_{x \to a}f(x)^{g(x)} =A^B(A>0)$$

• 各自极限存在才能运用极限四则运算；
• 函数的和、差、积、商的极限存在不能得出各自极限存在。

（2）有界函数与无穷小的乘积为无穷小

设 $$\lim_{x \to a}f(x)=0$$ ，当 $0<|x-a|< \delta$ 时 g(x) 有界，则 $$\lim_{x \to a}[f(x)g(x)]=0$$

（3）无穷大与无穷大（非零有界函数）的积为无穷大

$$\text 设 \lim_{x \to a}f(x)= \infty(+ \infty)， \lim_{x \to a}g(x)= \infty(+ \infty) \text或 \lim_{x \to a}g(x)=A \neq 0(A > 0)， \text 则$$

$$\lim_{x \to a}[f(x)g(x)]= \infty(+ \infty)。$$

（4）有界函数与无穷大之和为无穷大

$$\text 设 \lim_{x \to a}f(x)= \infty(+ \infty)， \text 当 0<|x-a|<\delta 时g(x)有界， \text 则$$

$$\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]= \infty(+ \infty)$$

（5）有界函数的无穷大次幂和无穷大次幂的有界函数次幂(未定性)

$$\text 设 \lim_{x \to a}f(x)= A，\lim_{x \to a}g(x)= + \infty， \text 则$$

$$\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}= \bigg\{ \begin{matrix} 0, \quad 0<A<1,\\ + \infty,\quad A>1;\end{matrix}$$

$$\lim_{x \to a}g(x)^{f(x)}= \bigg\{ \begin{matrix} + \infty, \quad A>0,\\ 0,\quad A < 0.\end{matrix}$$

（6）无穷小的有界函数次幂(未定性)

$$\text 设 \lim_{x \to a}f(x)= 0，f(x) > 0(0<|x-a|< \delta), \lim_{x \to a}g(x)= B \neq 0， \text 则$$

$$\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}= \bigg\{ \begin{matrix} 0, \quad B > 0,\\ + \infty,\quad B < 0.\end{matrix}$$

2、利用函数的连续性求极限

1. 设 $f(x)$ 在 $x = a$ 连续，按定义则有 $$\lim_{x \to a}f(x)=f(a).$$ 因此若不用定义可判断函数连续时，那么对连续函数求极限就是用代入法求函数值。
2. 一切初等函数在其定义域区间上连续，因此，若 $f(x)$ 是初等函数，a 属于其定义域区间，则 $$\lim_{x \to a}f(x)=f(a).$$

3. $$\text 设 \lim_{x \to a}g(x)=A，$$
   1. 若补充定义 $g(a)=A$，则 $g(x) 在 x=a$ 连续；
   2. 若又有 $y=f(u) 在 u=A处连续$，则由符合函数的连续性得到 $$\lim_{x \to a}f(g(x))=f(\lim_{x \to a}g(x))=f(A).$$

3、利用变量替换法与两个重要极限求极限

通过变量替换，把求某个极限转化为求另一个极限。

1. $$设 \lim_{x \to + \infty}\varphi(x) = + \infty, \lim_{u \to + \infty}f(u)=A, 则$$

$$\lim_{x \to + \infty}f(\varphi(x)) \underrightarrow{u=\varphi(x)} \lim_{u \to + \infty}f(u)=A$$

2. $$设 \lim_{x \to x_0}\varphi(x)=u_0，f(u)在 u_0连续，则$$

$$\lim_{x \to x_0}f(\varphi(x)) \stackrel{u=\varphi(x)}{\underset{x \to x_0 \text 时 u \to u_0}{\implies}} \lim_{u \to u_0}f(u)=f(u_0)$$

4、利用等价无穷小因子替换求极限

若 $x \to a$ 时，无穷小 $\alpha(x)$ ~ $\alpha^*(x)$，$\beta(x)$ ~ $\beta^*(x)$ 则

$$\lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)u(x)}{\beta(x)v(x)}= \lim_{x \to a} \frac{\alpha^*(x)u(x)}{\beta^*(x)v(x)}$$

等式两边其中之一极限存在或为$\infty$，则另一也是且相等。

结论表明：在求极限过程中等价无穷小因子可以替换。

利用等价无穷小因子替换求极限注意事项：

1. 只要求在求极限的乘除运算中使用等价无穷小因子替换，不要在求极限的加减运算中使用，在加减法中等价无穷小的替换是有条件的
2. 要熟练运用3-4中重要等价无穷小。

5、利用洛必达法则求未定式的极限

求 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式更常用的方法是洛必达法则

（1）定理

设

$$1、\lim_{x \to a}f(x)=0(\infty)，\lim_{x \to a}g(x)=0(\infty)；$$

$$2、f(x),g(x)在 x=a的空心邻域可导，g'(x) \neq 0；$$

$$3、\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$$

$$则 \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=A，其中A可以是有限数也可以是 \infty。$$

（2）使用条件

1）$x \to x_0 或 x \to \infty ，f(x)、g(x)$ 都趋于零或都趋于无穷大；
2） $$f(x)、g(x) 在 x_0 的去心邻域可导，且 g'(x) \neq 0 ;$$
3） $$\lim_{x \to x_0(x \to \infty)} \frac{f'(x)}{g'(x)} 存在或为无穷大。$$

（3）应用法则注意事项

1. $$若 \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 不存在也不为无穷大，不能说明 \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} 不存在。$$

2. 要验证应用法则的条件；

3. $$若 \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 还是 \frac{0}{0}型或 \frac{\infty}{infty} \text型$$

则可连续用洛必达法则，只要符合条件，可一直用到求出极限为止；
4. 其他类型的未定式 $( 0* \infty , \infty-\infty, 0^0, 1^{\infty}, \infty^0等)$ 先化成 $\frac{0}{0} 或 \frac{\infty}{\infty}型$，再用洛必达法则；
5. 使用洛必达法则也要用一些技巧，如结合应用变量替换、等价无穷小因子替换、极限的四则运算法则、有确定非零极限的因子应先求出等。

6、分别求左右极限求得函数极限

求分段函数在连接点处的极限，或函数表达式中含有左、右极限不相等的项（如 $x \to 0 时，e^{\frac{1}{x}}，arctan \frac{1}{x} 时$），要分别求左、右极限求得函数极限。

7、利用函数极限求数列极限

$$若 \lim_{x \to +\infty}f(x)=A , 则当 \exists x_n \to + \infty 时，有 \lim_{n \to + \infty}f(x_n)=A.$$

即若 $y_n$ 可看成某函数在一串点 $x_n$ 上的函数值： $$y_n=f(x_n)，而 x_n \to + \infty，又知 \lim_{x \to + \infty}f(x)=A ，则 \lim_{n \to + \infty}y_n=A.$$

注意1： $$若 \lim_{x \to + \infty}f(x)=A，y_n=f(n)，则 \lim_{n \to + \infty}y_n=A.$$

注意2：求数列极限转化为求函数极限的主要目的是为了用洛必达法则。

8、夹逼法求极限

用夹逼定理求极限，就是要将数列 $\{x_n\}$ 放大与缩小成：$z_n \leq x_n \leq y_n.$

$$要求 \lim_{n \to + \infty}x_n 成功，必须是极限 \lim_{n \to + \infty}y_n 与 \lim_{n \to \infty}z_n 会求且相等。$$

（1）简单放大缩小手段

常见手段如下：

1. n 个数之和不超过最大数乘 n，不小于最小数乘 n；
2. 分子与分母同为正数，把分母放大则分数值缩小；
3. 若干正数的乘积中，把小于1的因子略去则乘积放大，把大于1的因子略去则乘积缩小等。

（2）利用极限不等式性质进行放大或缩小

例题： $$求数列极限： \lim_{n \to +\infty} \frac{3^n}{n!};$$
解：由于

$$0 < \frac{3^n}{n!} = \frac{3*3*...*3}{1*2*3*...*n} \leq \frac{3^2}{2} \frac{3}{n} = \frac{27*1}{2*n} ;$$

$$而且 \lim_{n \to +\infty} \frac{27}{2n}=0$$

$$所以 \lim_{n \to +\infty} \frac{3^n}{n!}=0$$

（3）对积分的极限可利用积分的性质进行放大或缩小

例题：设$f(x)$ 在 [0,1] 上连续，求 $$\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 {x^n}f(x)dx$$
解：因为

$$\int_0^1 {x^n}dx= \int_0^1d[\frac{1}{n+1}x^{n+1}] = [\frac{1}{n+1}x^{n+1}]_0^1 = \frac{1}{n+1}$$

且连续函数$|f(x)| 在 [0,1]$ 存在最大值记为 M，于是

$$|\int_0^1 {x^n}f(x)dx| \leq \int_0^1 {x^n}|f(x)|dx \leq M \int_0^1x^ndx= \frac{M}{n+1}$$

$$又 \lim_{n \to +\infty} \frac{M}{n+1}=0，则 \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 {x^n}f(x)dx=0$$

9、递归数列极限的求法

数列 $\{ a_n\}$ 如果满足递归方程 $a_{n+1}=f(a_n)(n=1,2,3,...)，f$ 是已知的一元连续函数，则称 $\{ a_n\}$ 为递归数列。
由递归方程可知，由 $a_1$ 可求出 $a_2$ ，由 $a_2$ 可求 $a_3$ ，以此类推可求出任意项 $a_n$ ，因此求递归数列极限的方法很重要：

• 方法一：先验证递归数列 $a_n$ 收敛（常用单调有界数列必收敛定理），然后设 $$\lim_{n \to + \infty}x_n=A ，$$
  再对递归方程 $a_{n+1}=f(a_n) 取极限得 A=f(A)$ ，最后解出 A 即可。
• 方法二：先设 $$\lim_{n \to + \infty}x_n=A ，$$ 对递归方程取极限后解得A，再用某种方法证明 $$\lim_{n \to +\infty}x_n=A$$ 。

10、利用定积分求某些 n 项和式的极限

11、利用泰勒公式求未定式的极限

12、利用导数定义求极限

五、函数的连续性及其判断

1、连续性概念

定义：

1. 若 $$\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$$ ，称 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续。
2. 若 $$\lim_{x \to x_0+}f(x)=f(x_0)( \lim_{x \to x_0-}f(x)=f(x_0) )$$ ，称 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 连续。
3. 若 $f(x)$ 在 （a,b）内任一点均连续，称 $f(x)$ 在 （a,b）连续。
4. 若 $f(x)$ 在 （a,b）连续，在 $x=a$ 右连续，在 $x=b$ 左连续，称 $f(x) 在 [a,b] 上连续$ 。

定理（单双侧连续性的关系）：$f(x) 在 x_0 连续 \iff f(x) 在 x_0$ 既左连续又右连续。

2、间断点的定义与分类

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的空心邻域或单侧空心邻域有定义，$x=x_0$ 不是 $f(x)$ 的连续点，则称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的间断点。
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的空心邻域有定义，间断点 $x_0$ 的类型。

1. 第一类间断点$\stackrel{\triangle}{=} f(x_0+0) 与 f(x_0-0)$ 均存在。（左、右极限均存在）
   • 可去间断点：$f(x_0+0) = f(x_0-0) \neq f(x_0) 或 f(x_0)$ 无定义。（左极限等于右极限）
   • 跳跃间断点：$f(x_0+0) \neq f(x_0-0)$ 。(左极限不等于右极限)
2. 第二类间断点$\stackrel{\triangle}{=} f(x_0+0) 与 f(x_0-0)$ 中至少有一个不存在。
   • 无穷间断点：$f(x_0+0) 与 f(x_0-0)$ 中至少有一个为 $\infty$ 。

3、判断函数的连续性和间断点的类型

（1）判断函数连续性的方法

1）若是初等函数，则在它的定义域区间上处处连续；
2）用连续性运算法则；
3）分别判断左右连续性或按定义来判断。

（2）定理（连续性运算法则）

1）连续性的四则运算法则：设 $f(x)，g(x) 在 x_0 连续，则f(x) \pm g(x)，f(x)*g(x)，f(x)/g(x)(g(x_0) \neq 0) 在 x_0 也连续。$
2）复合函数的连续性：设 $u=\varphi(x) 在 x=x_0 连续，y=f(u) 在 u=u_0(u_0= \varphi(x_0)) 连续，则 f(\varphi(x)) 在 x=x_0 连续。$
3）反函数的连续性：设 $y=f(x) 在区间 I_x 上单调且连续，则反函数 x=\varphi(y) 也在对应的区间 I_y= {y|y=f(x),x \in I_x } 上连续且有相同的单调性。$

4、连续函数的性质

（1）连续函数的局部性质

设 $f(x) 在 x=x_0 连续，f(x_0) > 0，则 \exists \delta >0，当 |x-x_0|< \delta 时，f(x)>0。$

（2）连续函数介值定理（中间值定理）

设 $f(x) 在 [a,b] 上连续，f(x) \neq f(b)，则对 f(a) 与 f(b) 之间的任何数 \eta，必 \exists c(a<c<b)，使得 f(c)=\eta。$

连续函数零点存在性定理（推论）：设 $f(x)在 [a,b] 上连续，又 f(a) 与 f(b) 异号，则 \exists c \in (a,b)，使得 f(c)=0(c 称为 f(x)的零点)。$

（3）有界闭区间上连续函数的有界性

设 $f(x) 在 [a,b] 上连续，则 f(x) 在 [a,b] 上有界，即存在常数 M>0，使得 |f(x)| \leq M (x \in [a,b])$
即 f(x)在 [a,b] 连续则它在 [a,b] 必有界。

（4）有界闭区间上连续函数存在最大、最小值

设 $f(x) 在 [a,b] 上连续，则在 [a,b] 上必存在x_1，x_2，$ 使得

$$f(x_1) = \underset{x \in [a,b]}{max}f(x) \quad (即 \forall x \in [a,b]，f(x) \leq f(x_1))$$

$$f(x_2) = \underset{x \in [a,b]}{min}f(x) \quad (即 \forall x \in [a,b]，f(x) \geq f(x_2))$$

即 $f(x) 在 [a,b]上连续，则 f(x) 在 [a,b] 上有最大值、最小值。$

5、方程式根的存在性与根的估计

连续函数介值定理的推论————连续函数零点存在性定理，
连续函数零点存在性定理（推论）：设 $f(x)在 [a,b] 上连续，又 f(a) 与 f(b) 异号，则 \exists c \in (a,b)，使得 f(c)=0(c 称为 f(x)的零点)。$
可用于证明方程 $f(x)=0$ 存在根，并给出根的大小估计。

（1）例题

例：证明 $cosx - \frac{1}{x} = 0$ 有无穷多个正根，并指明这一事实的几何意义。
解：令 $f(x)=cosx- \frac{1}{x}, a_n=2n\pi, b_n=(2n+1)\pi, 则$

$$a_n< b_n< a_{n+1} < b_{n+1} \quad (n=1,2,3,...)。 \qquad (a_1=2\pi <b_1=3\pi < a_2= 4\pi < b_2 =5\pi <... )$$

由 $f(a_n)= 1 - \frac{1}{2n\pi} > 0，\quad f(b_n)=-1- \frac{1}{(2n+1)\pi} < 0 \implies$

$$\exists x_n \in (a_n,b_n)=(2n\pi, (2n+1)\pi)，n=1,2,3,..., 使得$$

$$f(x_n)=cosx_n - \frac{1}{x_n}=0，且 x_1< x_2 < ... < x_n < ...$$

几何意义：令 $f(x)=cosx- \frac{1}{x} , f(x)=0 有无穷多个正根的几何意义是曲线 y=f(x) 与正 x 轴有无穷多个交点。$