Expm 7_2区间调度问题

 

【问题描述】

给定n个活动，其中的每个活动a_i包含一个起始时间s_i与结束时间f_i。设计与实现算法从n个活动中找出一个最大的相互兼容的活动子集S。

要求：分别设计动态规划与贪心算法求解该问题。其中，对贪心算法分别给出递归与迭代两个版本的实现。

 

动态规划版本描述:

下面我们再换个角度考虑上面的问题。很多最优化深搜问题都可以巧妙地转化成动态规划问题，可以转化的根本原因在于存在重复子问题，我们看图四就会发现最多区间调度问题也存在重复子问题，所以可以利用动态规划来解决。假设区间已经排序，可以尝试这样设计递归式：前i个区间的最多不重叠区间个数为dp[i]。dp[i]等于啥呢？我们需要根据第i个区间是否选择这两种情况来考虑。如果我们选择第i个区间，它可能和前面的区间重叠，我们需要找到不重叠的位置k，然后计算最多不重叠区间个数dp[k]+1（如果区间按照开始时间排序，则前i+1个区间没有明确的分界线，我们必须按照结束时间排序）；如果我们不选择第i个区间，我们需要从前i-1个结果中选择一个最大的dp[j]；最后选择dp[k]+1和dp[j]中较大的。

选择或者不选择第i个区间都需要去查找其他的区间，顺序查找的复杂度为O(n)，总共有n个区间，每个区间都需要查找，所以动态规划部分最初的算法复杂度为O(n²)，已经从指数级降到多项式级，但是经过后面的优化还可以降到O(n)，我们一步步来优化。

可以看出dp[i]是非递减的，这可以通过数学归纳法证明。也即当我们已经求得前i个区间的最多不重叠区间个数之后，再求第i+1个区间时，我们完全可以不选择第i+1个区间，从而使得前i+1个区间的结果和前i个区间的结果相同；或者我们选择第i+1个区间，在不重叠的情况下有可能获得更优的结果。dp[i]是非递减的对我们有什么意义呢？首先，如果我们在计算dp[i]时不选择第i个区间，则我们就无需遍历前i-1个区间，直接选择dp[i-1]即可，因为它是前i-1个结果中最大的（虽然不一定是唯一的），此时伪代码中的dp[j]就变成了dp[i-1]。其次，在寻找和第i个区间不重叠的区间时，我们可以避免顺序遍历。如果我们将dp[i]的值列出来，肯定是这样的：

1,1,…,1,2,2,…,2,3,3,…,3,4……

即dp[i]的值从1开始，顺次递增，每一个值的个数不固定。dp[0]肯定等于1，后面几个区间如果和第0个区间重叠，则的dp值也为1；当出现一个区间不和第0个区间重叠时，其dp值变为2，依次类推。由此我们可以得到一个快速获得不重叠位置的方法：重新开辟一个新的数组，用来保存每一个不同dp值的最开始位置，例如pos[1]=0,pos[2]=3,…。这样我们就可以利用O(1)的时间实现find_nonoverlap_pos函数了，然后整个动态规划算法的复杂度就降为O(n)了。

其实从dp的值我们已经就可以发现一些端倪了：dp值发生变化的位置恰是出现不重叠的位置！再仔细思考一下就会出现一开始提到的贪心算法了。所以可以说，贪心算法是动态规划算法在某些问题中的一个特例。该问题的特殊性在于只考虑区间的个数，也即每次都是加1的操作，后面会看到，如果变成考虑区间的长度，则贪心算法不再适用。

package org.xiu68.exp.exp7;

public class Task{
    public int startTime;    //开始时间
    public int endTime;        //结束时间
    
    public Task(int startTime,int endTime){
        this.startTime=startTime;
        this.endTime=endTime;
    }
}

 

package org.xiu68.exp.exp7;

import java.util.ArrayList;

public class Exp7_2_1 {
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        ArrayList<Task> tasks=new ArrayList<>();
        tasks.add(new Task(1,5));
        tasks.add(new Task(2,4));
        tasks.add(new Task(3,6));
        tasks.add(new Task(5,8));
        intervalSchedule(tasks);
    }

    public static void intervalSchedule(ArrayList<Task> tasks){
        //按结束时间从小到大进行排序
        tasks.sort((t1,t2)->{
            if(t1.endTime<=t2.endTime)
                return -1;
            else
                return 1;
        });
        
        Task[] t = new Task[tasks.size()];
        tasks.toArray(t);
        int result = 0;
        if(t.length>=1){
            result=1+intervalRecuisive(t, 0, t.length-1);
        }
        System.out.println("最大区间个数为: "+result);
    }
    public static int intervalRecuisive(Task[] task,int i,int j){
        int m=i+1;
        //下一个任务与前面的任务不兼容
        while(m<=j && task[m].startTime<task[i].endTime)
            m++;
        //已经没有任务与前面任务兼容
        if(m<=j)
            return 1+intervalRecuisive(task, m, j);
        else
            return 0;
    }
}

 

package org.xiu68.exp.exp7;

import java.util.ArrayList;

public class Exp7_2_2 {

    //区间调度的迭代版本(最大区间个数)
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        ArrayList<Task> tasks=new ArrayList<>();
        tasks.add(new Task(6,9));
        tasks.add(new Task(6,7));
        tasks.add(new Task(5,6));
        tasks.add(new Task(4,5));
        intervalSchedule(tasks);
    }
    
    public static void intervalSchedule(ArrayList<Task> tasks){
        //按结束时间从小到大进行排序
        tasks.sort((t1,t2)->{
            if(t1.endTime<=t2.endTime)
                return -1;
            else
                return 1;
        });
        
        int result=0,end=0;
        for(int i=0;i<tasks.size();i++){        //每次选择结束时间最早的任务
            if(tasks.get(i).startTime>=end){        //如果任务之间相互兼容
                result+=1;
                end=tasks.get(i).endTime;
            }
        }
        System.out.println("最大区间个数为: "+result);
    }
}