虚树
用以解决树上的和点集相关的问题，将树的大小缩减至 \(\mathcal{O}(|S|)\) 级别。
构建方法即将所有关键点按照 \(\rm dfs\) 序排序，然后再将 \(LCA(s_i,s_{i+1})\) 加入并去重，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。
有线性构建的单调栈方法，没学。
粘个代码
for(int i=1; i<=k; i++)
{
if(a[i]==1) continue;
int lca=LCA(sta[top],a[i]);
if(lca!=sta[top])
{
while(dfn[lca]<dfn[sta[top-1]])
g[sta[top-1]].push_back(sta[top]), top--;
g[lca].push_back(sta[top]);
if(dfn[lca]>dfn[sta[top-1]]) sta[top]=lca;
else top--;
}
sta[++top]=a[i];
}
for(int i=1; i<top; i++)
g[sta[i]].push_back(sta[i+1]);
一些性质
-
点集 \(S=\{u_0,u_1,\dots,d_{m-1}\}\) 的完整虚树的边权和：
\[\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=0}^{m-1}dis(u_i,u_{(i+1)\bmod m}) \]
简单题：
