虚树

用以解决树上的和点集相关的问题，将树的大小缩减至 $\mathcal{O}(|S|)$ 级别。

构建方法即将所有关键点按照 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序排序，然后再将 $LCA(s_i,s_{i+1})$ 加入并去重，时间复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$。

有线性构建的单调栈方法，没学。

粘个代码

for(int i=1; i<=k; i++)
{
    if(a[i]==1) continue;
    int lca=LCA(sta[top],a[i]);
    if(lca!=sta[top])
    {
        while(dfn[lca]<dfn[sta[top-1]])
            g[sta[top-1]].push_back(sta[top]), top--;
        g[lca].push_back(sta[top]);
        if(dfn[lca]>dfn[sta[top-1]]) sta[top]=lca;
        else top--;
    }
    sta[++top]=a[i];
}
for(int i=1; i<top; i++)
    g[sta[i]].push_back(sta[i+1]);

一些性质

• 点集 $S=\{u_0,u_1,\dots ,d_{m-1}\}$ 的完整虚树的边权和：

  $${\displaystyle \frac{1}{2}}\sum _{i=0}^{m-1}dis(u_i,u_{(i+1)modm})$$

  应用：P3320 [SDOI2015] 寻宝游戏

简单题：

• P2495 [SDOI2011] 消耗战
• P4103 [HEOI2014] 大工程
• CF613D Kingdom and its Cities