后缀数组

后缀排序

char s[N];
int n,sa[N],rk[N],ork[N<<1];
int buc[N],id[N],pid[N];

bool cmp(int a,int b,int w){return ork[a]==ork[b] && ork[a+w]==ork[b+w];}

void build()
{
	int m=(1<<17),p=0;
	for(int i=1; i<=n; i++) buc[rk[i]=s[i]]++;
	for(int i=1; i<=m; i++) buc[i]+=buc[i-1];
	for(int i=n; i>=1; i--) sa[buc[s[i]]--]=i;
	for(int w=1; ; w<<=1,m=p,p=0)
	{
		for(int i=n; i>n-w; i--) id[++p]=i;
		for(int i=1; i<=n; i++) if(sa[i]>w) id[++p]=sa[i]-w;
		for(int i=0; i<=m+1; i++) buc[i]=0;
		for(int i=1; i<=n; i++) buc[pid[i]=rk[id[i]]]++;
		for(int i=1; i<=m; i++) buc[i]+=buc[i-1];
		for(int i=n; i>=1; i--) sa[buc[pid[i]]--]=id[i];
		for(int i=1; i<=n; i++) ork[i]=rk[i];
		p=0;
		for(int i=1; i<=n; i++) rk[sa[i]]=cmp(sa[i-1],sa[i],w)? p:++p;
		if(p==n) break;
	}
}

求 $h$ 数组

关键性质：$h_{r{k}_i}\ge h_{r{k}_{i-1}}-1$

int k=0;
for(int i=1; i<=tot; i++)
{
	if(k) k--;
	while(s[i+k]==s[sa[rk[i]-1]+k]) k++;
	h[rk[i]]=k;
}

应用

1、求任意两个后缀的 LCP

$$\mathrm{lcp}(i,j)=\underset{p=min(r{k}_i,r{k}_j)+1}{\overset{max(r{k}_i,r{k}_j)}{min}}{h}_p$$

2、求本质不同的子串个数

$${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}-\sum _{i=2}^n{h}_i$$

3、与单调栈结合

将 $h$ 数组倒过来可以得到一个柱状图，这是用单调栈解决问题的基础。以 P4248 [AHOI2013] 差异 为例，求两两后缀 $\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{p}$ 之和。

考虑按 $rk$ 从小到大加入 $h$（其实就是依次加入 $h_{1\sim n}$），设 $F(i)=\sum _{p=1}^{i-1}|\mathrm{lcp}(s{a}_i,s{a}_p)|=\sum _{p=1}^{i-1}\underset{q=p+1}{\overset{i}{min}}{h}_q$，答案即 $\sum F(i)$。用单调栈拆掉那个 $min$，变成维护单调栈矩形面积和。这是我们熟悉的问题。

一些题目

CF822E Liar

考虑朴素 DP，设 $f_{i,j}$ 表示匹配到 $s$ 的第 $i$ 位，$t$ 的第 $j$ 位的最小次数，转移即考虑 $s[i+1:]$ 和 $t[j+1:]$ 的最长公共前缀。考虑优化，注意到 $x\le 30$，所以值域定义域互换，设 $f_{i,a}$ 表示用了 $s$ 前 $i$ 位，$a$ 个子串，最远能匹配到 $t$ 的哪一位。转移不表。

P2178 [NOI2015] 品酒大会

因为是 $r$ 相似也就一定是 $0\sim r-1$ 相似，所以从大到小考虑。与 lcp 有关的是夹在这两个后缀排名间 $h_i$ 的 $min$，考虑并查集，每次将 $h_i=r$ 的后缀 $s{a}_i$ 和 $s{a}_{i-1}$ 合并，那么只需维护联通块大小，最大值、次大值、最小值、次小值即可。

P5341 [TJOI2019] 甲苯先生和大中锋的字符串

使用 SA 分析字符串的常见方式：将字符串按照 $rk$ 排序。

我们在排序后的字符串取出一个长度为 $k$ 的区间 $[i,i+k-1]$，显然这个区间的长度上界为 ${\mathrm{lcp}}_{j=i}^{i+k-1}{s}_j$。下界就是 $max(h_{i+k},h_i)$。单调队列即可 $\mathcal{O}(n)$。