回文自动机小记

构建

口胡一下过程：

• $fail$ 边指向自己的最长回文后缀（偶根指向奇根）。

• 定理：每添加一个字符，至多新增一个新的本质不同的回文串，且是所有 回后缀中最长的。

  由此得出推论：本质不同的回文子串（回文自动机的点数）不超过 |S|

• 暴力跳终止链，找到第一个左侧有 $x$ 的回文后缀 $v$。

  维护转移边，若 $v$ 已经有 $x$ 出边，找到该节点 $d$，本次终止链末尾即为 $d$。否则，新建一个点 $u$，且 $le{n}_u=le{n}_v+2$。

  维护 $fail$ 边，找到下一个旧的回文后缀 $v^{\prime }$ 满足左边有一个 $x$，此时必有 $x$ 出边，找到该节点 $u^{\prime }$，则 $fai{l}_u=u^{\prime }$。

• 时间复杂度均摊 $\mathcal{O}(n)$。