2024年8月杂题

[ARC068F] Solitaire

难。题目的条件告诉我们最后队列里呈现“V”字形。如何计算删数的方案？？找到合法方案的约束条件，用 DP 去计数，构造过程，都很难。

P2839 [国家集训队] middle

中位数的常见处理方法：二分答案，把小于它的设为 $- 1$ ，大于等于的设为 $1$ ，看和是否大于等于 $0$ 。

[AGC036C] GP 2

这种操作问题，通常要转化操作，寻找操作的等价条件。题目中的操作很玄乎，我们分析这种操作的结果是什么。对于最后的序列 $a$ ，它需要满足以下三个条件：

$\sum a_{i} = 3 m$
$max a_{i} \leq 2 m$
$\sum (a_{i} mod 2) \leq m$

先不考虑条件 2，我们可以枚举奇数个数，设其为 $k$ ，然后将所有奇数全部减 $1$ ，则总和变为 $3 m - k$ ，设其为 $2 p$ （若不是偶数则答案为 $0$ ）。问题就变成了 $n$ 个非负整数和为 $p$ ，所以答案为 $\sum_{i = 1}^{n} [(3 m - i) mod 2 = 0] (\binom{n}{i}) \times (\binom{p + n - 1}{n - 1})$ 。

然后再减去多余的部分，发现最多只有一个位置不满足条件 2，设其为 $a_{x}$ ，然后我们将其减去 $2 m + 1$ ，则问题变成了 $n$ 个非负整数和为 $m - 1$ 的方案，此时条件 3 无需考虑，这部分为 $n \times (\binom{m - 1 + n - 1}{n - 1})$ 。