2024年8月杂题

[ARC068F] Solitaire

难。题目的条件告诉我们最后队列里呈现“V”字形。如何计算删数的方案？？找到合法方案的约束条件，用 DP 去计数，构造过程，都很难。

P2839 [国家集训队] middle

中位数的常见处理方法：二分答案，把小于它的设为 \(-1\)，大于等于的设为 \(1\)，看和是否大于等于 \(0\)。

[AGC036C] GP 2

这种操作问题，通常要转化操作，寻找操作的等价条件。题目中的操作很玄乎，我们分析这种操作的结果是什么。对于最后的序列 \(a\)，它需要满足以下三个条件：

• \(\sum a_i=3m\)

• \(\max a_i\leq 2m\)

• \(\sum (a_i\bmod 2)\leq m\)

先不考虑条件 2，我们可以枚举奇数个数，设其为 \(k\)，然后将所有奇数全部减 \(1\)，则总和变为 \(3m-k\)，设其为 \(2p\)（若不是偶数则答案为 \(0\)）。问题就变成了 \(n\) 个非负整数和为 \(p\)，所以答案为 \(\sum\limits_{i=1}^n[(3m-i)\bmod 2=0]\dbinom{n}{i}\times \dbinom{p+n-1}{n-1}\)。

然后再减去多余的部分，发现最多只有一个位置不满足条件 2，设其为 \(a_x\)，然后我们将其减去 \(2m+1\)，则问题变成了 \(n\) 个非负整数和为 \(m-1\) 的方案，此时条件 3 无需考虑，这部分为 \(n\times \dbinom{m-1+n-1}{n-1}\)。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n)\)。

[AGC006D] Median Pyramid Hard

很神奇的题目。

中位数同样考虑二分答案，将小于 \(k\) 的设为 \(-1\)，大于等于的设为 \(1\)。然后好像没啥用了……

手玩过程，发现相邻两个一样的可以一直往上走，其实就是 \(1\) 和 \(-1\) 比赛看谁登顶，显然离中间近的那一对最先登顶。特判没有相邻的情况。