2024年4、5月 杂题记录

P10322 高洁（Purity）

设 $d=\prod p_i^{c_i}$，容易发现当 $d\mid i^k$ 时，$i^k$ 的所有质因子的幂次都不小于 $d$ 的所有所有质因子的幂次，即 $i^k$ 含有的质因子的幂次至少为 $\lceil c_i/k\rceil$，因此我们设

$$f_k(d)=\prod p_i^{\lceil c_i/k\rceil }$$

那么就有 $d\mid i^k\iff f_k(d)\mid i$，因此能级为 $k(k>1)$ 的答案为

$$\begin{array}{rl}ans(k)& =\sum _{i=1}^n{i}^{k+1}[f_k(d)\mid i][f_{k-1}(d)\nmid i]\\ & =f_k(d{)}^{k+1}\sum _{i=1}^{\lfloor n/f_k(d)\rfloor }{i}^{k+1}[(f_{k-1}(d)/f_k(d))\nmid i]\end{array}$$

设 $m=\lfloor n/f_k(d)\rfloor$，$q_k=f_{k-1}(d)/f_k(d)$，则

$$\begin{array}{rl}ans(k)& =f_k(d{)}^{k+1}\sum _{i=1}^m{i}^{k+1}(1-[q\mid i])\\ & =f_k(d{)}^{k-1}\sum _{i=1}^m{i}^{k+1}-q_k^{k+1}\sum _{i=1}^{\lfloor m/q_k\rfloor }{i}^{k+1}\end{array}$$

$k=1$ 时答案也很简单，

$$ans(1)=\sum _{i=1}^n{i}^2[d\mid i]=d^2\sum _{i=1}^{\lfloor n/d\rfloor }{i}^2$$

整个题就变成了自然数的 $k$ 次幂和的问题：

$$s_k(n)=\sum _{i=1}^n{i}^k\$\$\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{直}\mathrm{接}\$\mathcal{O}(k^2)\$\mathrm{递}\mathrm{推}\mathrm{求}\mathrm{出}。\mathrm{最}\mathrm{后}\mathrm{还}\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{求}\mathrm{出}\mathrm{能}\mathrm{级}\mathrm{为}\$0\$\mathrm{的}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{和}，\mathrm{记}\$ord=\prod p_i\$，\mathrm{这}\mathrm{就}\mathrm{是}\$\$\sum _{i=1}^{n}i[ord\nmid i]$$

用上文办法处理即可。

时间复杂度 $\mathcal{O}(T{k}^2(k+\log n))$​。

P3411 序列变换

P5947 [POI2003] Trinomial

神奇题目。

注意到 $mod3$，于是将原式变成 $((x-1{)}^2+3x{)}^n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i(x-1{)}^{2i}(3x{)}^{n-i}$。

发现只有 $(x-1{)}^{2n}$ 项有用。展开得 $\sum _{i=0}^{2n}{C}_{2n}^i{x}^i(-1{)}^{2n-i}$，使用卢卡斯定理计算即可。

CF1967B2 Reverse Card (Hard Version)

设 $a=Ad,b=Bd(A\perp B)$，即求 $A+B\mid Bd$ 的数量。

注意到 $gcd(A+B,B)=1$，因此即求 $A+B\mid d$ 的数量。

这里开始被 SE 带偏了。发现 $A\le \sqrt{n}$，所以直接暴力枚举即可。

CF1967C Fenwick Tree

注意到 $s$ 就是树状数组。然后考虑计算变换 $k$ 次后 $a_i$ 对祖先的贡献系数，打表发现是 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{\Delta }d+k-1}{\mathrm{\Delta }d})}$。

CF442C Artem and Array

又是这种贪心题。还是要多观察，多猜。

P10259 [COCI 2023/2024 #5] Piratski kod

记录下我的抽象做法。

枚举最后一段的长度，只需求前面的总和。

设 $f_i$ 表示长度为 $i$ 的总和。转移即考虑枚举断点 $j$，有

$$f_j\times g_{n-3}+v_n\times h_j\to f_i$$

其中 $n=i-j$，$g_n$ 表示长度为 $n$ 的不含连续两个 $1$ 的方案数，$v_n$ 表示长度为 $n$ 的海盗表示的总和。

最后统计 $an{s}_i=\sum f_j\times g_{i-j}$​。

注意处理一些特殊情况。

P6521 [CEOI2010 day2] pin

模拟赛 T1，比较好想的容斥。

先转化为求恰好 $4-D$ 个位置相同的对数。

状压一下求出 $g_i$ 表示至少 $i$ 个位置不同的对数，然后容斥即可，系数是组合数。

P10260 [COCI 2023/2024 #5] Rolete

观察到先整体拉肯定不劣，二分出整体拉的速度小于单独拉的速度的时刻，然后计算即可。