线性基小记

Part 0：前置知识

线性空间是一个关于以下两个运算封闭的向量集合：

• 向量加法 $a+b$。
• 标量乘法 $k\ast a$。

给定一个向量集合 $A=\{a_1,a_2,\dots ,a_k\}$，若向量 $b$ 能由 $a_1,a_2,\dots ,a_k$ 经过向量加法和标量乘法运算得出，则称向量 $b$ 能被向量 $a_1,a_2,\dots ,a_k$ 表出。$a_1,a_2,\dots ,a_k$ 能表出的所有向量构成一个线性空间，称作 $A$ 的张成空间，记作 $\mathrm{span}(A)$。$A$ 被称作这个线性空间的生成子集。

任意选出线性空间的若干个向量，如果其中存在一个向量能被其它向量表出，则称这些向量线性相关，否则称这些向量线性无关。

线性无关的生成子集被称为线性空间的基底，简称基。基的另一种定义是线性空间的极大线性无关子集。一个线性空间的所有基包含的向量个数都相等，这个数被称为向量空间的维数。

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Part 1：OI 中的线性基

在 OI 中，线性基一般用于解决与异或有关的问题。

异或可以看作 $mod2$ 意义下的向量加法。因此不难直接将原有的定义推广到异或上。

规定：记 $k$ 为二进制位长，$cnt$ 为线性基中基底的个数。

基的构建

从矩阵的角度理解，对于一个 $n\times m$ 的矩阵，把每一行看作长度为 $m$ 的行向量。将矩阵看作“系数矩阵”进行高斯消元，得到一个简化阶梯形矩阵。显然，简化阶梯形矩阵的所有非零行向量线性无关。而消元过程又不改变行向量的张成空间。于是，简化阶梯形矩阵的所有非零行向量就是该线性空间的一个基。

现在给定二进制数集合 $V$，求 $\mathrm{span}(V)$ 的一组解。

我们集合 $V$ 写成一个 $|V|$ 行 $k$ 列的 $01$ 矩阵，高斯消元即可。

市面上常见的线性基写法采用增量法，逐个加入向量，若能被之前的基表出则不加入。复杂度 $\mathcal{O}(|V|k)$。（其实本质上一样）。

struct Linear_Base
{
	LL e[S];

	Linear_Base(){memset(e,0,sizeof(e));}
	
	void insert(LL x)
	{
		for(int i=61; i>=0; i--)
			if(x&(1LL<<i))
			{
				if(e[i])
					x^=e[i];
				else
					return e[i]=x,void();
			}
	}
}

张成空间判定问题

给出一个线性无关的二进制数集合 $B$，询问 $a$ 是否在 $\mathrm{span}(B)$ 中。

$a\in \mathrm{span}(B)$ 等价于 $a,B$ 线性相关。类似基的构建一样将 $a,B$ 放在一起消元即可判断。

最大子集异或值

（P3812 【模板】线性基 - 洛谷）

要求实现一个函数 $\mathrm{query}(x)$，表示查询 $x$ 与线性基的最大异或和。那么最大子集异或值就是 $\mathrm{query}(0)$。

从高位到低位考虑基，若异或后变大，则异或。

由贪心可证明正确性。

LL query(LL x)
{
	for(int i=51; i>=0; i--)
		if((x^e[i])>x)
			x^=e[i];
	return x;
}

$k$ 小子集异或和

若原有的集合 $V$ 是线性无关的，则异或不到 $0$，能得到异或值的个数是 $2^{cnt}-1$ 。（有时允许选空集则无需考虑）。

反之，能得到 $0$，则为 $2^{cnt}$ 个。

特判一下 $0$，然后重构线性基，将三角基消成对角基，即令 $e_i$ 的 $0\sim i-1,i+1\sim k-1$ 都为 $0$。并从小到大排序记为 $b_0,b_1,\dots ,b_{cnt}$。

将 $k$ 按二进制展开，若第 $i$ 位为 $1$，则答案异或上 $b_i$。证明同按位贪心。

void rebuild()
{
	int tot=0;
	for(int i=0; i<=61; i++)
	{
	    if(!e[i])
	        continue;
		for(int j=i-1; j>=0; j--)
			if(e[i]&(1LL<<j))
				e[i]^=e[j];
		tmp[tot++]=e[i];
	}
}

LL ask(LL k)
{
	if(k>=(1LL<<cnt))
		return -1;
	LL res=0;
	for(int i=cnt-1; i>=0; i--)
		if(k&(1LL<<i))
			res^=tmp[i];
	return res;
}

线性基合并

由于线性基只有 $\mathcal{O}(k)$ 个元素，所以暴力插入即可，时间复杂度 $\mathcal{O}(k^2)$。

例题

P3265 [JLOI2015] 装备购买

就是求一个价钱最小的极大线性无关子集。同 kruskal 一样按价钱从小到大加入，求解线性基即可。

P4301 [CQOI2013] 新Nim游戏

先手想要找到一个极大的集合，使后手面对这个集合时，无法找到一个子集满足异或和为 $0$。因此，这个集合一定是线性无关的 。

P3292 [SCOI2016] 幸运数字

对每个节点 $x$ 维护 $g_{x,i}$ 表示从 $x$ 向上走 $2^i$ 步所到达的所有节点（不包括 $x$）的线性基。由于可重复贡献直接树上 RMQ 即可。

P4839 P 哥的桶

使用线段树维护线性基合并。复杂度 $\mathcal{O}(n\log n{\log }^{2}V)$。

CF895C Square Subsets

套路地想到质因数分解，指数全部 $mod2$，因为 $a_i\le 70$，于是将每个数用它的质因子指数的二进制表示。那么成绩操作相当于异或操作，即问有多少个子集异或和为 $0$。

构建线性基，不在线性基里的数可以自由选择，所以答案为 $2^{n-|V|}-1$。