莫队小记

抽象的算法

抽象的算法

普通莫队

将序列分块，将询问按左端点所在块的编号排序。

维护指针 $l, r$ ，通过区间 $[l, r]$ 的答案得出区间 $[l - 1, r], [l, r + 1], [l + 1, r], [l, r - 1]$ 的答案，并变化指针。

时间复杂度 $O (q B + \frac{n^{2}}{B})$ ，取 $B = \sqrt{n}$ 有 $O ((n + q) \sqrt{n})$ ，取 $B = \frac{n}{\sqrt{q}}$ 有 $O (n \sqrt{q})$ 。

注意指针变化的顺序（先执行区间变大），以及指针变化与贡献计算的相对顺序。

奇偶块排序：相邻的两块中，前一块按照 $r$ 升序排序，后一块按照 $r$ 降序排序。

树上莫队使用 dfs 序或 dfn 序转到区间上，具体实现见例题。

带修莫队

在原来的基础上再加入一维修改指针 $t$ ，类似 $l, r$ 一样移动即可。

思考块长 $B$ 的取值，视 $n, q$ 同阶。

$l$ 的移动次数： $l$ 跨块移动总次数为 $n$ ，每两个询问之间 $l$ 的移动距离为 $B$ ，故总移动次数为 $n B$ 。
$r$ 的移动次数： $l$ 跨块移动总次数为 $n B$ ， $l$ 不跨块总移动次数为 $\frac{n^{2}}{B}$ 。
$t$ 的移动次数，对于 $l, r$ ，一共有 $min (n, \frac{n^{2}}{B^{2}})$ 个有效的块，每个块移动 $n$ 次，故总复杂度为 $\frac{n^{3}}{B^{2}}$ （ $min$ 取到 $n$ 显然不优，于是令 $B > \sqrt{n}$ ）。

综上，我们要确定一个 $B$ 使得 $max (n B, \frac{n^{2}}{B}, \frac{n^{3}}{B^{2}})$ 最小，当 $B = n^{\frac{2}{3}}$ 时，取得最小值 $O (n^{\frac{5}{3}})$ 。

例题

P4462 [CQOI2018] 异或序列

作前缀和，转化为两点异或和为 $k$ 。

记 $c_{x}$ 表示异或和为 $x$ 的个数，新加入一个数 $y$ 时，贡献就是 $c_{k \oplus y}$ 。

P4396 [AHOI2013] 作业 & P4867 Gty的妹子序列

用树状数组或值域分块维护，时间复杂度 $O (n \sqrt{n} \log n)$ 。

CF877F Ann and Books

即 $v_{i} = s 1_{i} - s 2_{i}$ 。即求有多少个 $[l, r]$ 满足 $v_{r} = v_{l - 1} + k$ 。预先离散化即可。

P3604 美好的每一天

将 $s [1 : i]$ 每个字符的出现次数模 $2$ 并状压，记为 $a_{i}$ 。问题即求有多少个 $i, j$ 满足 $l \leq i \leq j \leq r$ 且 $a_{r} \oplus a_{l - 1}$ 至多有一位是 $1$ 。枚举字符集即可。时间复杂度 $O (n \sqrt{n} \times 26)$ 。

将询问差分成 $\sum_{x}^{+ \infty} [get (1, r_{1}, x) - get (1, l_{1} - 1, x)] \times [get (1, r_{2}, x) - get (1, l_{2} - 1, x)]$ 。即可拆成四个不同的询问，每个询问形如 $\sum get (1, i, x) \times get (1, j, x)$ 。这可以用莫队维护。注意指针的变化。

CF375D Tree and Queries

树上莫队，容易想到打在 dfn 序上，就变成简单题了。

SP10707 COT2 - Count on a tree II

这次不能用 dfn 序了，得用 dfs 序，这样不在链上的节点会被计算两次抵消掉。

钦定 $s t_{u} < s t_{v}$ 。分 $u = LCA (u, v)$ 和 $u \neq LCA (u, v)$ 两种情况进行讨论。前者对应的区间是 $[s t_{u}, s t_{v}]$ ，后者是 $[e d_{u}, s t_{v}]$ 再加上 $l c a$ 的贡献。新开一个数组记录该点是要 $add$ 还是 $del$ ，从而将出现两次的节点去掉。