2024年2月 校内集训

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2024.2.13 T1 统计

其实就是 [AGC028D] Chords。

先破环为链，把圆上的点转化到区间上，那么圆上两条线段有交则在区间上相交但不包含。

对于一个连通块来说，连通块内的点肯定在一个区间内，且区间端点属于连通块。但是不是区间内的所有点都是这个连通块，可能还有小连通块。

考虑对每个连通块计算贡献，设 $f_{i,j}$ 表示区间 $[i,j]$ 内任意连边，且 $i,j$ 在同一个连通块的方案数。发现这个连通块长度一定是偶数，且内部的点不能往外连边，这是有利于统计的。预处理 $g_i(imod2=0)$ 表示 $i$ 的点任意两两连边的方案数，则 $g_i=g_{i-2}\times (i-1)=(i-1)!!$。预处理 $cn{t}_{i,j}$ 表示区间 $[i,j]$ 内未确定连边的点的数量。

令 $f_{i,j}=g_{cn{t}_{i,j}}$，但这样显然是不对的，因为还需满足 $i,j$ 在同一连通块。考虑容斥，枚举与 $i$ 在同一个连通块的最右端点 $k$，则

$$f_{i,j}=g_{cn{t}_{i,j}}-\sum _{k=i+1}^{j-1}{f}_{i,k}\times g_{cn{t}_{k+1,j}}$$

答案即 $\sum _{i,j}{f}_{i,j}\times g_{2n-2k-cn{t}_{i,j}}$。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n^3)$。

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2024.2.13 T3 狩猎

其实就是 P10074 [GDKOI2024 普及组] 刷野 III。

根据样例 2 提示，将 $a_i$ 从大到小排序，设想要打的序列是 $\{x_i\}$，满足 $a_{x_i}\ge a_{x_{i+1}}$，那么我们其实只需要最小化 $\sum _{i=1}^m{a}_{x_i}(x_i-x_{i-1})$。

设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个怪物，打了 $j$ 个的答案，则有转移 $f_{i,j}=min\{f_{k,j-1}+a_i\times (i-k)\}$，暴力转移是 $\mathcal{O}(n^3)$ 的。

发现转移式里有乘积项，容易想到斜率优化，则 $f_{k,j-1}=a_i\times k+f_{i,j}-a_i\times i$。即令斜率为 $a_i$ 的直线过每个点 $(k,f_{k,j-1})$，最小化截距。斜率 $a_i$ 单调递减，使用单调栈维护。枚举时应先枚举 $j$ 再枚举 $i$，否则会 $f_{i,j-1}\to f_{i,j}$，而且这样写只需要开一个栈，方便。

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2024.2.14 T1 挖宝

给定一棵树，$q$ 次询问，每次给出 $a,b,d_a,d_b$，任意输出一个点，满足这个点到 $a,b$ 的距离分别是 $d_a,d_b$，无解输出 $-1$。

$n,q\le {10}^6$。

钦定 $d_a>d_b$。大力分类讨论：

• $x$ 在 $a,b$ 简单路径上，则 $d_a+d_b=dis(a,b)$。
• $x$ 在 $b$ 子树内，则 $d_a-d_b=dis(a,b)$。
• $x$ 是 $lca$ 的祖先或儿子，则 $d_a=dis(a,lca)=d_b-dis(b,lca)$。
• $x$ 是从 $lca$ 往上走再往下走到的某个点。
• $x$ 在 $a,b$ 简单路径上的某个节点的子树内，设这个节点为 $v$，则 $d_a-dis(a,v)=d_b-dis(b,v)$，$dis(a,v)+dis(b,v)=dis(a,b)$。

具体实现细节很多，为了方便，可以先处理往上走的，再处理往下走的。

预处理每个点往上走再往下能到达的最大深度的点 $h_x$，还有每个点往下走能到达的最大深度的点 $so{n}_x$，并将 $x$ 的每个儿子 $y$ 按 $so{n}_y$ 从大到小排序。

对于 case 2，发现直接用 $so{n}_b$ 在 $b=lca$ 时可能会出错，所以只处理 $b\ne lca$，$b=lca$ 放到 case 5。

对于 case 3 的往上走部分，先判断 $lca$ 到根行不行，再判断 $lca$ 到 $h_{lca}$ 行不行即可。往下走的部分放到 case 5。

case 1 也可以放到 case 5。

对于 case 5，先解方程算出有没有这样的 $v$，再在 $v$ 的子树内选一个合法的子树往下跑即可。

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2024.2.15 T1 Greedy Pie Eaters P

其实就是 P5851 [USACO19DEC] Greedy Pie Eaters P。

一开始设了三维状态，但其实只需要两维。

只用设 $f_{l,r}$ 表示吃完了 $l\sim r$ 的派的最大体重。转移即枚举断点 $k$，枚举吃的奶牛 $T$，需满足 $l\le L_T\le k\le R_T\le r$，则有 $f_{l,k-1}+f_{k+1,r}+w_T\to f_{l,r}$。预处理 $g_{k,l,r}$ 表示满足上述条件的最大的 $w$ 即可 $\mathcal{O}(n^3)$。

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2024.2.15 T2 Bessie's Snow Cow P

其实就是 P5852 [USACO19DEC] Bessie's Snow Cow P。

不是很难的数据结构题。

维护子树容易想到 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序。发现每次修改的区间不会交叉，只会相离或完全包含。于是对于每种颜色开一个 set，记录已经有的区间，在修改大区间的时候，把小区间先删掉。复杂度有保障。

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2024.2.16 T1 楼房搭建

有一个均为 $0$ 的序列 $\{a_i\}$，给定 $\{h_i\}$。每次操作可以选定 $i(1\le i<n)$，使 $a_i\leftarrow a_i+1,a_{i+1}\leftarrow a_{i+1}+2$ 或者 $a_i\leftarrow a_i+2,a_{i+1}\leftarrow a_{i+1}+1$。求至少要多少次操作才能使 $\mathrm{\forall }i,a_i\ge h_i$。

$n,V\le {10}^6$。

反悔贪心………………

一个错误的贪心：从前往后遍历，优先执行 $a_i+2$，再执行 $a_i+1$，但这样显然错误。

考虑如下的反悔：

• 反悔之前的 $a_i+2,a_{i+1}+1$：改成两次 $a_i+1,a_{i+1}+2$，这样保证 $a_i$ 不变，用 $1$ 的代价使 $a_{i+1}+3$。
• 反悔之前的 $a_i+3$：改成一次 $a_i+1,a_{i+1}+2$ 和一次 $a_i+2,a_{i+1}+1$，这样 $a_i$ 不变，用 $1$ 的代价使 $a_{i+1}+3$。
• 反悔之前的 $a_i+3$：改成三次 $a_i+1,a_{i+1}+2$，这样用 $2$ 的代价使 $a_{i+1}+6$。

因为反悔必须保证 $a_i$ 不变，所以可以证明这样的反悔是足够的。

记录下前面用了多少个 $a_{i-1}+2,a_i+1$ 和 多少个 $a_i+3$，即可知道能用多少次 $a_i+3$。对于不够的部分，优先 $a_i+2$ 即可。时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$。

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2024.2.16 T3 数字收藏

给定 $n,k$，维护一个可重集，支持插入、删除一个数，每次操作后询问 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n[gcd(a_i,a_j)=k]$。

$k$ 没卵用，全部数先除以 $k$，转化成求集合内互质的数的个数。莫反一下得 $\sum _{d=1}^V\mu (d)\times {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{f(d)}{2})}$，其中 $f(d)$ 表示集合内 $d$ 的倍数的个数。

预处理每个数的约数，每次只需关注答案变化量，复杂度 $\mathcal{O}(q\times \sigma (V))$。

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2024.2.17 T3 人生

一张 $n$ 个点的无向图，一开始这张图没有边，每个点可能是黑色、白色、或无色，现在你要把这张图补充完整：

• 把每个无色的点涂上黑色或白色。
• 对于 $\mathrm{\forall }1\le i<j\le n$，你可以选择连一条 $i\to j$ 的有向边。

定义一条路径是合法的当且仅当路径上相邻的点颜色不同，可以只经过一个点。

定义一张图是合法的当且仅当路径合法数量为奇数。

求有多少种方案使得图是合法的。

$1\le n\le 2\times {10}^5$。

设 $g_i$ 表示以 $i$ 点结尾的合法路径的数量在模 $2$ 意义下的值。则 $g_i=(\sum _{j=1}^{i-1}[c_i\ne c_j]g_j)mod2\oplus 1$。发现 $g_i$ 取值只和颜色和自己不同且 $g_j=1$ 的 $j$ 的个数 $k$ 有关。若 $k$ 是偶数，则 $g_i=1$，否则 $g_i=0$。

因此设 $f_{i,j,x,y}$ 表示前 $i$ 个点，合法路径条数模 $2$ 为 $j$，有 $x$ 个白点满足 $g=1$，有 $y$ 个黑点满足 $g=1$。转移即考虑 $i+1$ 点的染色，若将 $i+1$ 染成黑色，则

$$f_{i,j,x,y}\times cnt(x,0)\times 2^{i-x}\to f_{i+1,j\oplus 1,x,y+1}$$

$$f_{i,j,x,y}\times cnt(x,1)\times 2^{i-x}\to f_{i+1,j,x,y}$$

其中 $cnt(x,0/1)$ 表示从 $x$ 个点里选偶数/奇数个点的方案数。

白色的转移同理。

注意到 $x>0$ 时 $cnt(x,0/1)=2^{x-1}$，而 $x=0$ 时 $cnt(x,0)=1,cnt(x,1)=0$。因此转移只和 $x,y$ 是否大于 $0$ 有关。因此设 $f_{i,j,x,y}$ 表示前 $i$ 个点，合法路径条数模 $2$ 为 $j$，白点满足 $g=1$ 的数量是否大于 $0$，黑点满足 $g=1$ 的数量是否大于 $0$。时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$。

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2024.2.19 T1 得分

其实就是CF639E Bear and Paradox

考场上用假做法通过了……

调整法得若 $i<j$，则 ${\displaystyle \frac{t_i}{a_i}}\le {\displaystyle \frac{t_j}{a_j}}$。

问题是当上述式子左右两边相等时内部该如何排序？？仔细观察样例 2 我猜想把 $a$ 次大的放第一个，$a$ 最大的放最后，中间乱放即可。这在 GJOJ 上获得了满分的好成绩，可惜是假的……

其实我们不用知道那一段里面时怎么排的，重点在于如何取到最劣的情况。分析，当这一段中有一个出现了 Paradox 时，即 $a_i>a_j$，$a_i(T-c{x}_i)<a_j(T-c{x}_j)$。要想让其满足这样的关系，则要让 $x_i$ 尽量大，$x_j$ 尽量小。所以对于一道题，在作为 $i$ 时放最后面，作为 $j$ 时放最前面即可。

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2024.2.20 T1 区间求解

一个长度为 $n$ 的序列的 $\{a_i\}$，一个正整数 $m$，$q$ 次询问，每次询问区间 $[l,r]$ 中有多少个子序列满足 $l\le p_1<p_2<\cdots <p_k\le r$，$\sum _{i=1}^k{a}_{p_i}modm=0$，空序列也是一种方案。

$n,q\le 2\times {10}^5$，$m\le 20$。

猫树分治，对于区间 $[l,r]$，将跨过 $mid$ 两边的询问存储在当前节点，而分别在两个子区间内部的询问则下放。对于每个区间，预处理 $pr{e}_{i,j}$ 表示区间 $[l,i]$ 有多少种子序列使得和模 $m$ 为 $j$，$su{f}_{i,j}$ 表示区间 $[j,r]$ 有多少种子序列使得和模 $m$ 为 $j$。那么当递归处理了 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$ 两个子区间后，左边的 $su{f}_i$ 对应的区间就是 $[i,mid]$，右边的 $pr{e}_i$ 对应的区间就是 $[mid+1,i]$，这就使我们可以直接统计答案。时间复杂度 $\mathcal{O}(nm\log n)$。

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2024.2.20 T2 无线网络

怎么放 NOIP 模拟赛原题，没意思……

2024.2.21 T1 千岛之国

其实就是 P9272 [CEOI 2013] 千岛之国

很厉害的 dp，不会做。

当以每个点为中心的时候，左上和右下的可以一次到达，右上和左下要多次。画个图发现当你跳了一次后，左下和右上那个无法一次到达的矩阵的大小会越来越小。这取决于跳一次后那些点的横纵坐标的最小最大值。

以右上的矩阵为例，设 $minr,maxc$ 分别表示往左上跳一次所到达的点的行/列的最小/最大值。则右上角那个矩阵从 $(x_i,y_i)-(1,M)$ 缩小到 $(minr,maxc)-(1,M)$。设 $f_{r,c}$ 表示矩阵 $(r,c)-(1,M)$ 需要的步数，很容易写出状态转移方程 $f_{r,c}=cn{t}_{r,c}+f_{minr(r,c),maxc(r,c)}$。

对于左下的处理同理。时间复杂度 $\mathcal{O}(n+M^2)$。

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2024.2.21 T2 监控

简单二分图匹配，没想出来纯粹是自己 sb……

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2024.2.22 T1 座位表

有 $n\times m$ 个座位和 $n\times m$ 个人要做到这些位置上，其中有 $k$ 个涉嫌作弊人不能坐在相邻的位置（行、列相邻）。现在要分座位，方式是随机分配，不符合要求则重新随机。求分配次数的期望。

$1\le n\times m\le 80$，$1\le k\le min(20,n\times m)$。

设期望为 $E$，合法的方案个数为 $x$，总方案个数为 $s$，则 $E={\displaystyle \frac{x}{s}}+{\displaystyle \frac{s-x}{x}}(E+1)$，解得 $E={\displaystyle \frac{s}{x}}$。显然 $s=(\genfrac{}{}{0ex}{}{nm}{k})$。现在考虑求 $x$。

由于 $nm\le 80$，于是 $min(n,m)\le 8$，选择小的那个作为列（$m$），设 $f_{i,j,s,t}$ 表示考虑到第 $i$ 行第 $j$ 列，前面的作弊的人的轮廓线状态为 $s$，已经放了 $t$ 个涉嫌作弊的人。转移不表。可以把第一维去掉。时间复杂度 $\mathcal{O}(2^{min(n,m)}nmk)$。

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2024.2.28 T1 链

其实就是 P6142 [USACO20FEB] Delegation P

其实是简单题，但是自己太菜了。

先二分答案 $k$。

对于一个节点 $x$，往父亲传递的链只有一条。记 $f_x$ 表示往上传的链的长度。如果有奇数个儿子，肯定是两两配对后剩下一条传上去。如果有偶数个儿子，就加个 $0$ 变成奇数的情况。

考虑选哪条链，这东西也是有单调性的，可以再来一次二分。$\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}$ 显然就是大配小。

如果是根节点的话就不用上传了，直接偶数两两配对即可。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n{\log }^{2}n)$。

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2024.2.28 T2 三角形

其实就是 P6143 [USACO20FEB] Equilateral Triangles P

把等边三角形三个顶点垂直于坐标轴作两条辅助线，在三角形内部会交于一点。发现这一点到某两个顶点距离相等，到另一个顶点的曼哈顿距离等于到其他两个顶点的距离。于是考虑枚举这个点 $(i,j)$，再枚举到某两个点的距离 $d$。钦定那两个点一定在正上方和正右方。发现剩下那个点一定在左下方一条斜率为 $1$ 的直线上，预处理斜线前缀和即可。

把图旋转，做四次。时间复杂度 $\mathcal{O}(n^3)$。

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2024.2.29 T3 线段并

其实就是 P6144 [USACO20FEB] Help Yourself P

先考虑 $k=1$ 怎么做。

同名金组就是 $k=1$，但是用那种设状态的方法放到这题是不行的。

先按左端点排序。设 $f_i$ 表示以第 $i$ 条线段结尾的答案。分类一下：

• 对于 $r_j\in [1,l_i)$，$f_i\leftarrow f_j+1$。
• 对于 $r_j\in [l_i,r_i)$，$f_i\leftarrow f_j$。
• 对于 $r_j\in [r_i,2N]$，此时 $i$ 被 $j$ 完全包含。因为后面的线段比较相对位置时是按 $r$ 比较，所以 $f_j$ 不能贡献到 $f_i$，应该是 $f_j\leftarrow f_j\times 2$（$i$ 选或不选）。

用线段树维护上述操作，需要支持单点修改、区间求和、区间乘。

现在考虑 $k\ne 1$。

其实就是考虑如何维护 $(x+1{)}^k$。

由二项式定理得 $(x+1{)}^k=\sum _{i=0}^k{C}_k^i{x}^i$。由于 $k$ 不大，维护 $x^k$ 即可。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n{k}^2+nk\log n)$。