P9238 [蓝桥杯 2023 省 A] 翻转硬币

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受益良多啊……

设 $f(i)$ 表示第 $i$ 枚硬币是否需要被翻转，以下所有运算均在模 $2$ 意义下进行。

初始化 $f(1)=1$，递推式有 $f(i)=\sum _{d\mid i,d\ne i}f(d)$，答案即求 $\sum _{i=1}^{n}f(i)$。

观察发现 $\sum _{d\mid i}f(d)=2f(i)=[i=1]$，写成卷积形式就是 $f\ast I=ϵ$，反演一下得 $f=\mu$。

当 $\mu (i)=-1$ 时，可令 $f(i)\leftarrow 1$，因此答案即求 $\sum _{i=1}^n{\mu }^2(i)$。

来到本题一个重要的 Trick —— ${\mu }^2$ 的前缀和计算。

考虑 ${\mu }^2(i)$ 的实际意义，即 $i$ 是否含有平方因子。那么将 $i$ 质因数分解得 $\prod p_i^{c_i}$，令 $P=\prod p_i^{\lfloor c_i/2\rfloor }$，那么 ${\mu }^2(i)=1\iff P=1$。因此有 ${\mu }^2(i)=[P=1]=\sum _{d\mid P}\mu (d)=\sum _{d^2\mid i}\mu (d)$。

所以

$$\sum _{i=1}^n{\mu }^2(i)=\sum _{i=1}^{\sqrt{n}}\mu (i)\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i^2}}\rfloor$$

那么问题就涉及到了高次整除分块。对 $\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i^2}}\rfloor$ 整除分块，$r=\sqrt{\lfloor {\displaystyle \frac{n}{\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i^2}}\rfloor }}\rfloor }$，时间复杂度 $\mathcal{O}(n^{\frac{1}{3}})$。

预处理 $\mathcal{O}(n^{\frac{2}{5}})$ 的前缀和可以做到复杂度 $\mathcal{O}(n^{\frac{2}{5}})$，证明太难不会。

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

const int N=1.6e7+10;

LL n,lim,ans;
int v[N],prime[N],mu[N],sum[N],tot;
unordered_map <LL,LL> tmp;

void prework()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2; i<=lim; i++)
	{
		if(!v[i])
		{
			v[i]=i;
			prime[++tot]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1; j<=tot; j++)
		{
			if(prime[j]>v[i] || prime[j]>lim/i)
				break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
			if(i%prime[j]==0)
				break;
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1; i<=lim; i++)
		sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}

LL query(LL n)
{
	if(n<=lim)
		return (LL)sum[n];
	auto it=tmp.find(n);
	if(it!=tmp.end())
		return it->second;
	LL res=1;
	for(LL l=2,r; l<=n; l=r+1)
	{
		r=n/(n/l);
		res-=(r-l+1)*query(n/l);
	}
	return tmp[n]=res;
}

signed main()
{
	scanf("%lld",&n);

	lim=powl(n,2.0/5)+10;
	prework();

	for(LL l=1,r; l<=sqrtl(n); l=r+1)
	{
		r=sqrtl(n/(n/(l*l)));
		ans+=(query(r)-query(l-1))*(n/(l*l));
	}

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;
}