P6217 简单数论题

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题意：给出一个长度为 $n$ 的序列 $a$，$q$ 次询问 $\prod _{i=l}^{r}gcd(a_i,x)$。$n,V\le 2\times {10}^5$

数论好题

套路地，将 $\text{lcm}$ 换成 $gcd$，问题即求 $\prod _{i=l}^r{\displaystyle \frac{a_{i}x}{gcd(a_i,x)}}$，分子是好求的，现在问题即求 $\prod gcd(a_i,x)$

很多 $gcd$ 的题目都是将 $x$ 分解质因数，这道题同样如此，设 $x=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}\dots p_m^{c_m}$，考虑每个质因子 $p_i$ 的贡献，那么 $p_i$ 在指数上的贡献应该是 $\sum _{j=1}^{c_i}\text{count}(p_i^j)$，其中 $\text{count}(x)$ 表示 $l\sim r$ 中 $x$ 的倍数的个数。容易想到可以使用主席树维护。

具体地，将每个 $a_i$ 分解质因数，将 $p_i,p_i^2,\dots ,p_i^{c_i}$ 从小到大插入主席树。询问时对 $x$ 分解质因数，对 $p_i^j$ 依次查询即可。

时间复杂度 $\mathcal{O}((n+q)(\sqrt{V}+{\log }^{2}V))$

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

const int N=2e5+10,M=8e7+10,MOD=1e9+7;

int n,q,a[N],b[N];
int prime[N],v[N],tot;
int rt[N],pt;

void prework()
{
	for(int i=2; i<=2e5; i++)
	{
		if(!v[i])
		{
			v[i]=i;
			prime[++tot]=i;
		}
		for(int j=1; j<=tot; j++)
		{
			if(prime[j]>v[i] || prime[j]>2e5/i)
				break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
		}
	}
}

struct SegmentTree
{
	int lc,rc,dat;
	#define lc(x) tree[x].lc
	#define rc(x) tree[x].rc
	#define dat(x) tree[x].dat
}tree[M];

void build(int &p,int l,int r)
{
	if(!p)
		p=++pt;
	if(l==r)
		return dat(p)=0,void();
	int mid=(l+r)>>1;
	build(lc(p),l,mid);
	build(rc(p),mid+1,r);
}

void insert(int &p,int pre,int l,int r,int pos,int v)
{
	p=++pt;
	tree[p]=tree[pre];
	if(l==r)
		return dat(p)+=v,void();
	int mid=(l+r)>>1;
	if(pos<=mid)
		insert(lc(p),lc(pre),l,mid,pos,v);
	else
		insert(rc(p),rc(pre),mid+1,r,pos,v);
}

int ask(int p,int pre,int l,int r,int pos)
{
	if(!p)
		return 0;
	if(l==r)
		return dat(p)-dat(pre);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(pos<=mid)
		return ask(lc(p),lc(pre),l,mid,pos);
	return ask(rc(p),rc(pre),mid+1,r,pos);
}	

void divide(int x,int id)
{
	int pre=rt[id-1],now=0;
	for(int i=1; i<=tot && prime[i]<=sqrt(x); i++)
	{
		int res=1;
		while(x%prime[i]==0)
		{
			x/=prime[i];  res*=prime[i];
			insert(now,pre,1,2e5,res,1);
			pre=now;  now=0;
		}
	}
	if(x!=1)
		insert(now,pre,1,2e5,x,1),pre=now,now=0;
	rt[id]=pre;
}

int ksm(int x,int y)
{
	int res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)
			res=1LL*res*x%MOD;
		x=1LL*x*x%MOD;
		y>>=1;
	}
	return res;
}

int main()
{
	prework();

	scanf("%d%d",&n,&q);  b[0]=1;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		b[i]=1LL*a[i]*b[i-1]%MOD;
		divide(a[i],i);
	}

	while(q--)
	{
		int l,r,x,xx,ans=1;
		scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);  xx=x;
		for(int i=1; i<=tot && prime[i]<=sqrt(x); i++)
		{
			int res=1;
			while(x%prime[i]==0)
			{
				x/=prime[i];  res*=prime[i];
				ans=1LL*ans*ksm(prime[i],ask(rt[r],rt[l-1],1,2e5,res))%MOD;
			}
		}
		if(x!=1)
			ans=1LL*ans*ksm(x,ask(rt[r],rt[l-1],1,2e5,x))%MOD;
		ans=1LL*b[r]*ksm(b[l-1],MOD-2)%MOD*ksm(xx,r-l+1)%MOD*ksm(ans,MOD-2)%MOD;

		printf("%d\n",ans);
	}

	return 0;
}