P7137 [THUPC2021 初赛] 切切糕

（题目传送门）

根据博弈论 dp 的基本套路从后往前 dp，设 $f_{i,j}$ 表示还剩 $i$ 个切糕，$j$ 次优先选择权，Kiana 能获得的最大切糕大小。转移即考虑当前将这个切糕切成两份 $x,y$，满足 $x\le y$ 且 $x+y=a_{cur}$（$a_{cur}$ 表示这一轮选的切糕），则 $f_{i,j}=min(x+f_{i-1,j-1},y+f_{i-1,j})$。当 $x={\displaystyle \frac{a_i-f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j}}{2}}$，$y={\displaystyle \frac{a_i+f_{i-1,j-1}-f_{i-1,j}}{2}}$ 时 $f_{i,j}$ 取到最大值 ${\displaystyle \frac{f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j}+a_{cur}}{2}}$ 。

但是并不是所有情况都能取到等号，

• 当 $y<x$ 时，交换 $x,y$ 即可。
• 当 $x<0,y>a_{cur}$ 时，令 $x\leftarrow 0,y\leftarrow a_{cur}$。

最后输出 $f_{n,m}$（为了最优 Tinytree 肯定会用完所有的“优先选择权”）。

现在还有个问题，应该怎样选择切糕的顺序？

猜测是从小到大切，因为这样 Kiana 能给对手更多的抉择，因为如果在当前使用“优先选择权”到了后面更大的可能就选不到了。

#include<bits/stdc++.h>
#define db double
using namespace std;

const int N=2510;
const db eps=1e-12;

int n,m,a[N],suf[N];
db f[N][N];

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1; i<=n; i++)
		scanf("%d",&a[i]);

	sort(a+1,a+1+n);

	f[0][0]=0;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		int cur=n-i+1;
		f[i][0]=(db)a[cur]+f[i-1][0];
		f[i][i]=(db)a[cur]/2.000000+f[i-1][i-1];
		for(int j=1; j<=min(i-1,m); j++)
		{
			db x=((db)a[cur]-(f[i-1][j-1]-f[i-1][j]))/2.000000;
			db y=(db)a[cur]-x;
			if(y<x)
				f[i][j]=min(x+f[i-1][j-1],y+f[i-1][j]);
			else
			{
				if((db)x>=0)
					f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-1][j]+(db)a[cur])/2.000000;
				else
					f[i][j]=min(f[i-1][j-1],f[i-1][j]+(db)a[cur]);
			}
		}

	}
	
	printf("%.6lf\n",f[n][m]);

	return 0;
}