P1861 星之器

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神仙题

第一次感受势能函数的优雅。首先要发现答案只和初末状态有关，和操作方式无关，于是考虑对每个点设一个势能函数 $f(x,y)$ 表示位于 $(x,y)$ 的一颗星的势能，使得每次答案的增加量等于势能的减少量

容易发现，势能就是每颗星势能的加和，$x$ 维度和 $y$ 维度的势能相互独立且等价

于是我们可以只考虑一个维度的情况。考虑两个点 $(x_1,y),(x_2,y)(x_1<x_2)$，那么根据势能函数的定义则有：

$$f(x_1)+f(x_2)-f(x_1+1)-f(x_2-1)=x_2-x_1-1$$

化简一下得：

$$f(x_1+1)-f(x_1)-(x_1+1)=f(x_2)-f(x_2-1)-x_2$$

因此只需保证 $f(x)-f(x-1)-x$ 为定值即可

令 $f(x)-f(x-1)-x=0$，则容易得出 $f(x)=\sum _{i=1}^{x}i$

所以 $f(x,y)=\sum _{i=1}^{x}i+\sum _{i=1}^{y}i$

最后输出初始势能减去结束势能即可

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

int n,m;
LL ans;

int S(int x)
{
	return (1+x)*x/2;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		for(int j=1; j<=m; j++)
		{
			int v;
			scanf("%d",&v);
			ans+=1LL*v*(S(i)+S(j));
		}
	}
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		for(int j=1; j<=m; j++)
		{
			int v;
			scanf("%d",&v);
			ans-=1LL*v*(S(i)+S(j));
		}
	}
	
	printf("%lld",ans);
	
	return 0;
}