P9510 『STA - R3』高维立方体

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现在我们定义一个函数（注意在 $n<1$ 时这个函数的值是 $0$）：

$$f(n)=\sum _{i=1}^n{\mathrm{fib}}^2(i)$$

需要求出：

$$\sum _{i=1}^n\mathrm{fib}(i)\cdot (f(i-2)+{\mathrm{fib}}^2(i)+\mathrm{fib}(i))$$

对于所有数据，$1\le T\le 2\times {10}^5$，$1\le n\le {10}^{18}$，$2\le p\le {10}^9+7$。

很有意思的题

先对 $\mathrm{f}\mathrm{i}{\mathrm{b}}^2(\mathrm{i})$ 进行化简，裂项一下得：

$$\begin{array}{rl}{\text{fib}}^2(i)& =(\text{fib}(i+1)-\text{fib}(i-1))\text{fib}(i))\\ & =\text{fib}(i+1)\text{fib}(i)-\text{fib}(i)\text{fib}(i-1)\end{array}$$

所以

$$f(n)=\sum _{i=1}^n\text{fib}(i+1)\text{fib}(i)-\text{fib}(i)\text{fib}(i-1)=\text{fib}(n+1)\text{fib}(n)$$

将 $f(i-2)$ 代入原式得：

$$\begin{array}{rl}& \text{fib}(i)(\text{fib}(i-1)\text{fib}(i-2)+{\text{fib}}^2(i)+\text{fib}(i))\\ =& \text{fib}(i)(\text{fib}(i-1)\text{fib}(i-2)+\text{fib}(i+1)\text{fib}(i)-\text{fib}(i)\text{fib}(i-1))+{\text{fib}}^2(i)\\ =& \text{fib}(i)[\text{fib}(i+1)\text{fib}(i)-\text{fib}(i-1)(\text{fib}(i)-\text{fib}(i-2))]+{\text{fib}}^2(i)\\ =& \text{fib}(i+1){\text{fib}}^2(i)-{\text{fib}}^2(i)\text{fib}(i-1)+{\text{fib}}^2(i)\end{array}$$

求和得：

$$\text{fib}(n+1){\text{fib}}^2(n)+\text{fib}(n+1)\text{fib}(n)$$

矩阵快速幂优化即可，注意卡常

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

const int M=2;

int T;
LL n,p;

struct matrix
{
	int row,col;
	LL data[M][M];

	matrix(int r,int c)
	{
		row=r;
		col=c;
		memset(data,0,sizeof(data));
	}
};

matrix a(2,2);
matrix ans(1,2);

matrix operator * (const matrix &x,const matrix &y)
{
	matrix c(x.row,y.col);
	for(int i=0; i<x.row; i++)
	{
		for(int j=0; j<y.col; j++)
		{
			for(int k=0; k<x.col; k++)
				c.data[i][j]+=x.data[i][k]*y.data[k][j];
			c.data[i][j]%=p;
		} 
	}
			
	return c;
}

void init()
{
	a.data[0][1]=a.data[1][0]=a.data[1][1]=ans.data[0][1]=1;
	a.data[0][0]=ans.data[0][0]=0;
}

int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld%lld",&n,&p);
	
		init();
		
		for(; n; n>>=1)
		{
			if(n&1)
				ans=ans*a;
			a=a*a;
		}
	
		LL s=(ans.data[0][1]*ans.data[0][0]%p*ans.data[0][0]%p+ans.data[0][1]*ans.data[0][0]%p)%p;
		printf("%lld\n",s);
	}

	return 0;
}