奇怪的DP

P5975 [CEOI2009] photo

很抽象的题

path

给定一个 $n\times m$ 的矩形，从左下角 $(n,1)$ 出发，可以向右转或向前走，障碍物和走过的格子不能走，求走到 $(s,t)$ 的方案数，答案模 $k$

$1\le n,m\le 40$，$k\le {10}^9$

只有方向不可做

设 $f[a][b][x][y][0\cdots 3]$ 表示矩形 $(a,b,x,y)$ 从左上角、左下角、右上角、右下角进入的方案数。枚举走了多少步后再拐弯再进行转移

Paint Pearls

$n$ 个位置，每个位置有 $1$ 个目标颜色。每次选择一个区间，将区间所有的位置全部改成目标颜色。设区间内不同颜色的数量为 $x$，则操作的代价为 $x^2$，求最小代价

$1\le n\le 5\times {10}^4$

设 $f[i]$ 表示 $1$ 到 $i$ 的最小代价

下界是 $n$（一个个改）。因此若区间内不同颜色的数量超过 $\sqrt{n}$，则不会直接操作。

记录当前位置往前 $\sqrt{n}$ 种颜色及其对应位置即可

Data Structure You've Never Heard Of

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,a_2\dots a_n$，每个元素都是一个 $d$ 维 $01$ 向量，求所有不下降子序列的个数

$1\le n\le 2\times {10}^5$，$1\le d\le 16$

对于 $d$ 维向量，$a_i\le a_j$ 等价于 $a_i$ 的每一维都小于等于 $a_i$

$a\le b$ 等价于 $a|b=b$，即 $a$ 是 $b$ 的子集，$b$ 是 $a$ 的超集

设 $f[i]$ 表示以 $i$ 为结尾的子序列的个数，时间复杂度 $O(n^2)$

考虑维护高位前缀和，设 $s[a][b]$ 表示前 $8$ 位是 $a$，后 $8$ 位是 $b$ 的 $f$ 之和

查询和修改的复杂度都是 $O(n^{\frac{d}{2}})$

Tree chain problem

一个 $n$ 的点的树，$m$ 条树链，第 $i$ 条树链的价值为 $w_i$。请选择一些没有公共点的树链，使得价值和最大

$1\le n,m\le {10}^5$

设 $f[x]$ 为以 $x$ 为根的子树内选取树链的价值最大值。枚举一条以 $x$ 为 $\mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{A}$ 的链 $(u,v,w)$，那么当前方案价值为 $w$ 加上去除链上点后深度最小的点的 $f$ 值

设 $g[x]$ 为 $x$ 的所有儿子的 $f$ 之和

设链上的点为紫色，它们的儿子为绿色，那么绿色$f$之和 $=$ 紫色$g$之和 $-$ 紫色$f$之和 $+$ $\mathrm{L}\mathrm{C}\mathrm{A}$特殊处理

问题转化为树上的树链查询与单点修改

建立 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序线段树 $T$，$t[x]$ 存储根到 $x$ 的和

权值的单点修改转化成 $\mathrm{d}\mathrm{f}\mathrm{s}$ 序上的区间修改

树链查询首先拆成两条链减去祖先

P3577 [POI2014] TUR-Tourism

困难