扩展欧几里得算法与乘法逆元

Part 1：前置知识

• 欧几里得算法

  $$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N},gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$$

• $\mathrm{B}\mathrm{é}\mathrm{zout}$ 定理

  对于任意整数 $a,b$，存在一对整数 $x,y$，满足 $ax+by=gcd(a,b)$

  证明：

  在欧几里得算法的最后一步，即 $b=0$ 时，显然有一对整数 $x=1,y=0$，使得 $a\ast 1+0\ast 0=gcd(a,0)$

  若 $b>0$，则 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$

  假设存在一对正整数 $x,y$，满足 $b{x}_1+(amodb)y_1=gcd(b,amodb)$

  则有 $ax+by=b{x}_1+(amodb)y_1$

  $$\begin{gathered} \therefore ax+by=b{x}_1+(a-\lfloor \\ a/b\rfloor \ast b)y_1 \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} \therefore ax+by=b{x}_1+a{y}_1-(\lfloor \\ a/b\rfloor \ast b)y_1 \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} \therefore ax+by=a{y}_1+b(x_1-\lfloor \\ a/b\rfloor \ast y_1) \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} \therefore x=y_1,y=x_1-\lfloor \\ a/b\rfloor \ast y_1 \end{gathered}$$

  对欧几里得算法的递归过程应用数学归纳法，可知 $Bézout$ 定理 成立

  利用 $\mathrm{B}\mathrm{é}\mathrm{zout}$ 定理，我们就可以使用 扩展欧几里得算法 来求出整数 $x,y$ 的一组特解

Part 2：扩展欧几里得算法

1、求 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组特解

• 代码

#define LL long long
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;  y=0;  
		return a;
	}
		
	LL d=exgcd(b,a%b,x,y);
	LL tmp=x;
	x=y;  y=tmp-(a/b)*y;
		
	return d;
}

2.求 $ax+by=gcd(a,b)$ 的通解

• 已知 $x_0,y_0$ 是一组特解，$d=gcd(a,b)$（下面的 $d$ 含义相同）

• 那么方程通解为

  $$x=x_0+k{\displaystyle \frac{b}{d}},y=y_0-k{\displaystyle \frac{a}{d}}(k\in \mathbb{Z})$$

  证明：
  设 $x,y$ 是除 $x_0,y_0$ 之外的一组解

  则可得：$\{\begin{array}{ll}a{x}_0+b{y}_0=d& (1)\\ ax+by=d& (2)\end{array}$

  $(2)-(1)$ 得：$a(x-x_0)=b(y_0-y)=\mathrm{lcm}(a,b)\ast k$

  对 $a(x-x_0)=\mathrm{lcm}(a,b)\ast k$ 进行分析：

  $a(x-x_0)={\displaystyle \frac{ab}{d}}\ast k$

  $\therefore x-x_0={\displaystyle \frac{b}{d}}\ast k$

  $\therefore x=x_0+k{\displaystyle \frac{b}{d}}$

  对 $b(y_0-y)=\mathrm{lcm}(a,b)\ast k$ 分析，同理可得：$y=y_0-k{\displaystyle \frac{a}{d}}$

3.求 $ax+by=c$ 的解

• 对于一般的方程 $ax+by=c$，它有解当且仅当 $d\mid c$

• 通过先前的扩欧，我们可以求出方程 $ax+by=d)$ 的一组特解 $x_0,y_0$，然后令 $x_0,y_0$ 同时乘上 $c/d$，就得到了 $ax+by=c$ 的一组特解：$(c/d)x_0,(c/d)y_0$

• 由于 $c$ 是 $d$ 的倍数，所以类比求 $ax+by=gcd(a,b)$ 的通解的过程，我们可以将$ax+by=c$ 的通解表示为：

  $$x={\displaystyle \frac{c}{d}}{x}_0+k{\displaystyle \frac{b}{d}},y={\displaystyle \frac{c}{d}}{y}_0-k{\displaystyle \frac{a}{d}}(k\in \text{Z})$$

Part 3：乘法逆元

1. 定义

• 若整数 $a,m$ 互质，且 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，那么就称 $x$ 为 $a$ 的模 $m$ 乘法逆元。（记为 $a^{-1}$）

2.扩展欧几里得算法求逆元

• 将 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ 变形可得：$ax-my=1(m\in \mathbb{Z})$

• 使用扩欧可轻松求出 $x$ 的一个特解 $x_0$

• 若要求最小最小正整数解，则令 $x=(x_{0}modm+m)modm$

• 代码

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;  y=0;
		return;
	}
	
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y;  y=tmp-(a/b)*y;
	return;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m); //n为逆元表达式中的a
	
	int x=0,y=0;
	exgcd(n,m,x,y);
	x=(x%m+m)%m;
		
	printf("%d\n",x);
	
	return 0;
}

3.费马小定理求逆元

• 前提条件：当 $m$ 为质数时才可使用

• 前置知识：费马小定理

  若 $p$ 是质数，$a$ 是正整数，且 $a$ 不是 $p$ 的倍数，则 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

• 已知$\{\begin{array}{ll}ax\equiv 1(\mathrm{mod}m)& (1)\\ a^{m-1}\equiv 1(\mathrm{mod}m)& (2)\end{array}$，那么由 $(1)(2)$可推出 $ax\equiv a^{m-1}(\mathrm{mod}m)$，所以 $x=a^{m-2}$

• 一般情况下，我们可以使用快速幂来求出 $a^{m-2}$

4.线性递推求逆元

• 当题目需要我们求出一串数字 $mod$ $m$ 的逆元时，我们会采用这种方式

• 我们记 $x$ 的逆元为 $inv[x]$，已知 $1\ast 1\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，所以 $inv[1]=1$

• 设 $m=k\ast x+r(1⩽r<x<m)$，也就是说 $k$ 是 $m/x$ 的商，$r$ 是余数。那么就有：

  $$k\ast x+r\equiv 0(\mathrm{mod}m)$$

  乘上 $inv[x]\ast inv[r]$，就有：

  $$k\ast inv[r]+inv[x]\equiv 0(\mathrm{mod}m)$$
  $$inv[x]\equiv -k\ast inv[r](\mathrm{mod}m)$$
  $$\begin{gathered} inv[x]\equiv -\lfloor \\ {\displaystyle \frac{m}{x}}\rfloor \ast inv[mmodx](\mathrm{mod}m) \end{gathered}$$

• 这样，我们就可以线性地递推出乘法逆元。但值得注意的是，一般题目中都要保证求出的逆元是正数，所以我们会在递推时往递推式中加一个 $m\ast inv[mmodx]$

• 代码

inv[1]=1;
for(int i=2; i<=n; i++)
		inv[i]=(long long)(m-m/i)*inv[m%i]%m;