poj 1091跳蚤（容斥定理+质因子分解）

题目链接：http://poj.org/problem?id=1091

题意：给出一个M,可以从1..M中选出N个数（a₁,a₂..a_n），跳蚤可以左右移动（a₁,a₂..a_n,M）步，问能跳蚤移到左边一格的方案有几种？

 

思路：假设步数(a₁,a₂..a_n,M)，移动的次数分别为(x₁,x₂,..x_n,x_n+1）

1.那么：a₁*x₁+a₂*x₂+..+a_n*x_n+M*x_n+1=1    (显然x_i正负都可以去，左右移动嘛，这里是向左为正)

 

2.因为M是已给的，求{a_1,a₂...a_n}与M最大公约数为1的方案个数， 不如算{a₁,a₂..a_n}中选N个与M最大公约数 不是1

因为我们知道总数为M^N

　　而且如果最大公约数不是1，那么最大公约数一定是M质因子中某几个的倍数

　　即{a1,a2,..an}与M有质约数的情况个数。

 

3.那么我们只要算出，对于每种M质因子搭配的方案的个数

　　设y(n)表示 n个M的质因子搭配，即最大公约是 n个M的质因子的积情况个数 

　　用容斥定理得 公约数不为1的个数 f=y(1)-y(2)+y(3)+(-1)^k-1t(k)

 

4.答案就是  M^N-f

 

详细过程请看代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
int prim[maxn],prim_num;
void divide(int m)//求出m的质因子 
{
    prim_num=0;
    for(int i=2;i*i<=m;i++)
    {
        if(m%i==0)
        {
            prim_num++;
            prim[prim_num]=i;
            while(m%i==0)
                m/=i;
        }    
    }
    if(m!=1)
    {
        prim_num++;
        prim[prim_num]=m;
    }
}

ll qpow(ll a,ll b)//快速幂 
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans*=a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll a[maxn],tmp,n,m;
void dfs(int b,int ct,int c)//表示从M的质因子中挑选c个,ct表示已选择的个数 
{
    int x;
    if(ct==c)//已经从中选择了c个质因子 
    {
        x=m;
        for(int i=1;i<=c;i++)
            x/=a[i];
        tmp+=qpow(x,n);//挑完c个后，每个数值都是 a[1]*...*a[c]*k(1<=k<=x),每个数剩下x种选择 
        return ;//所以总个数是x^n 
    }
    for(int i=b+1;i<=prim_num;i++)
    {
        a[ct+1]=prim[i];//对于第ct+1个选第i个质因子 
        dfs(i,ct+1,c);
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        ll ans=0;
        divide(m);
        for(int i=1;i<=prim_num;i++)
        {
            tmp=0;
            dfs(0,0,i);//N个数都是 M中所有i个质因子选择情况 的倍数的个数 
            if(i&1)//容斥定理 
                ans+=tmp;
            else
                ans-=tmp;
            //cout<<i<<" "<<prim[i]<<" "<<ans<<endl;
        }
        ans=qpow(m,n)-ans;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}