三维偏序-二维LIS
Another Longest Increasing Subsequence Problem
有两种思路。
思路一:
考虑到如果只有一维,那么可以用f[s]表示长度为s时,最后一个数是多少,把这个想法拓展到二维,即f[s]表示长度为s时,最后一个点的集合,也就是说有多个点,但是这多个点是有顺序,x递增,y递减,并且每次加点进来的时候,随时保持这个顺序。
关于怎么处理点的集合,可以用平衡树来实现,这里用map来代替,而且map自带二分查找的功能。
算法实现:采用二分答案的方法,初始区间是(0,ans)这是刚好合适的情况,每次二分的时候,要验证两个值mid和mid+1,如果只验证mid,成立的时候跳向(mid+1,r),但是这个区间上可能找不到答案,这和二分查找不一样,这是找最优解,而不是验证存不存在,所以至少要保证mid+1成立才能考查右区间。
最后更新的时候,记住保持x递增,y递减的顺序就可以了,情况比较多,很繁琐,我在这里错了很久,注意边界处的细节怎么处理,详细的看代码。
代码如下:
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,n) for(i=1;i<=n;i++) #define F first #define S second using namespace std; const int maxn=100100; map<int,int>f[maxn]; int n; int find(int x,int y,int l,int r) { if(l==r)return l; int mid=(l+r)>>1; map<int,int>::iterator it1,it2; it1=f[mid].lower_bound(x); it2=f[mid+1].lower_bound(x); if(it1==f[mid].begin() || it2==f[mid+1].begin())return find(x,y,l,mid); --it1,--it2; if(it1->S>=y || it2->S>=y)return find(x,y,l,mid); return find(x,y,mid+1,r); } void update(int x,int y,int p) { map<int,int>::iterator it1=f[p].lower_bound(x),it2=it1; if(it1!=f[p].end() && it1->F == x && it1->S<=y)return ; if(it1!=f[p].begin() && (--it1)->S<=y)return ; while(it2!=f[p].end() && it2->S>=y)f[p].erase(it2++); f[p][x]=y; } int main() { int i,ans=0; scanf("%d",&n); f[0][-2000000000]=-2000000000; rep(i,n) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); int pos=find(x,y,0,ans); ans=max(ans,++pos); update(x,y,pos); } printf("%d",ans); }
方法二:CDQ分治。
采用分治的思想,先处理左区间,再用左区间更新一次右区间,再处理右区间,这样就保证每次处理的时候都是用前面的更新过的。
一共有三维的坐标x:点的下标,y:点的横坐标,z:点的纵坐标。分治的时候,因为是用左区间来更新右区间,所以x保证是升序的,可以左右区间分别将y排序,每次更新右区间的时候,都依次遍历看哪些左区间的点可以加进去,可以用数据结构进行转移(线段树,树状数组都可以,只是线段树在本题中会超时),将离散化后的z坐标作为下标,f[x]作为值对数组数组(或线段树)进行更新,查询符合条件的f 最大值。每次转移完成后,要把线段树或树状数组清空,不要用memset,更新了哪些就清空哪些。最后还要将区间上的点按x的顺序重新排好序,保证接下来处理的时候x是升序的。
注意:sort(a+st,a+ed,cmp)实际上是对(a[st],a[ed-1])之间的元素进行排序!
代码如下(线段树):
#include<bits/stdc++.h> #define rep(i,n) for(i=1;i<=n;i++) #define lson l,mid,rt<<1 #define rson mid+1,r,rt<<1|1 using namespace std; const int maxn=100100; int tree[maxn*4],f[maxn],a[maxn]; struct zz{int x,y,z;}poi[maxn]; int n; bool cmpy(const zz& i,const zz&j) { return i.y<j.y; } bool cmpx(const zz&i,const zz&j) { return i.x<j.x; } int find(int v,int l,int r) { int mid=(l+r)>>1; if(l==r)return l; if(v<=a[mid])return find(v,l,mid); return find(v,mid+1,r); } void update(int p,int add,int l,int r,int rt) { if(l==r) { tree[rt]=(add==0?add:max(tree[rt],add)); return ; } int mid=(l+r)>>1; if(p<=mid)update(p,add,lson); else update(p,add,rson); tree[rt]=max(tree[rt<<1],tree[rt<<1|1]); } int query(int L,int R,int l,int r,int rt) { if(L>R)return 0; if(l>=L && r<=R)return tree[rt]; int mid=(l+r)>>1; if(mid>=R)return query(L,R,lson); if(mid<L)return query(L,R,rson); return max(query(L,R,lson),query(L,R,rson)); } void work(int l,int r) { int mid=(l+r)>>1; sort(poi+l,poi+mid+1,cmpy); sort(poi+mid+1,poi+r+1,cmpy); for(int i=l,j=mid+1;j<=r;j++) { while(poi[i].y<poi[j].y && i<=mid) { update(poi[i].z,f[poi[i].x],1,n,1); i++; } f[poi[j].x]=max(f[poi[j].x],query(1,poi[j].z-1,1,n,1)+1); } for(int i=l;i<=mid;i++)update(poi[i].z,0,1,n,1); sort(poi+mid+1,poi+r+1,cmpx); } void CDQ(int l,int r) { int mid=(l+r)>>1; if(l==r)return; CDQ(l,mid); work(l,r); CDQ(mid+1,r); } int main() { // freopen("D.in","r",stdin); // freopen("D.out","w",stdout); // ios::sync_with_stdio(false); //cin>>n; scanf("%d",&n); int i; rep(i,n) { // cin>>poi[i].y>>poi[i].z; scanf("%d%d",&poi[i].y,&poi[i].z); a[i]=poi[i].z; poi[i].x=i; f[i]=1; } sort(a+1,a+n+1); rep(i,n)poi[i].z=find(poi[i].z,1,n); //rep(i,n)cout<<poi[i].z<<endl; CDQ(1,n); int ans=0; rep(i,n) ans=max(ans,f[i]); // rep(i,n)cout<<f[i]<<endl; //ios::sync_with_stdio(true); // cout<<ans<<endl; printf("%d",ans); return 0; }