时间复杂度和空间复杂度简述

　　定义:一个算法中的语句执行次数称为 语句频度 或 时间频度;

　　约定:检验算法的效率，主要考虑 最坏时间复杂度 和 平均时间复杂度 一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度

1、时间复杂度

　　一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。

　　在时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时,时间频度T(n)也会不断变化。但是它的变化是有规律的，所以引入时间复杂度这个概念。一般情况下，算法中的基本操作重复次数的是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

　　计算时间复杂度

　　(1) 如果算法的执行时间不随着问题的规模n的增长而增长，即使算法中有上千条语句，执行时间也只是一个比较大的常数。此类算法的时间复杂度为O(1);

　　　按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log₂n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog₂n),平方阶O(n²)，立方阶O(n³),...， k次方阶O(n^k),指数阶O(2ⁿ)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

i = 100000;
while(i--) {
  printf("hello");
}

　　解答:

　　这个算法循环100000次，虽然它运行次数非常多，但是主要执行的第三行的执行时间是常数值，所以他的时间复杂度为常数阶O(1);

　　(2) 当有多个循环嵌套时，算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句的语句频度决定的

x=0; 
for(i=1;i<=n;i++) 
    for(j=1;j<=i;j++)
       for(k=1;k<=j;k++)
          x++; 

　　这个算法中主要执行的是第5行，它的执行时间是常数值，但是它上面有三层循环，每层每次分别执行是(从最外层到内) [(n-1) ]，[(n-1)+(n-2) ....]，[(n-1-1)+(n-2-1) ....] 次，所以该算法的时间复杂度为O(n³+ 剩余低次项) ≈O(n³);

　　PS: 简单的计算方式(只能参考): 一个循环为n，一个嵌套是n⁺¹，并列时是+n，最后结果取最大项;

2、空间复杂度

　　一个程序的空间复杂度是指运行完一个程序所需内存的大小。

　　(1) 固定部分。这部分空间的大小与输入/输出的数据的个数多少、数值无关。主要包括指令空间（即代码空间）、数据空间（常量、简单变量）等所占的空间。这部分属于静态空间。

　　(2) 可变空间，这部分空间的主要包括动态分配的空间，以及递归栈所需的空间等。这部分的空间大小与算法有关。

　　一个算法所需的存储空间用f(n)表示。S(n)=O(f(n))　其中n为问题的规模，S(n)表示空间复杂度。