几何深度学习是个很令人兴奋的新领域，但是它的数学运算逐渐转移到代数拓朴和理论物理的范围。
在Cohen等人的论文《规范等变卷积网络和二十面体CNN》中，这种现象尤其明显。这篇论文也正是本文要探讨的对象。论文中使用了规范场理论的用辞，那些喜欢把“量子”和“场”两个词合起来使用的所有的物理学当中，规范场理论居于中心地位。论文承诺对规范场理论的基础知识提供一个直观的解读，其实，我也不得不承认，它做到了，而且它也许是目前我看到的最棒的入门介绍。然而，它终究是个很难的学科。
我在这里想做的，是纯直观的解读，不涉及数学。我并不完全依照论文的顺序，但是你仍然可以打开论文对照阅读，而我也尽量标出所有重要的术语。
下面我将假设你已经知道卷积神经网络（CNN）的工作原理，但是不明白它与流形（manifold）的关系。现在，让我们开始吧！
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流形
流形是很简单的东西。你看到的每一个二维平面都可以算做流形。球体表面，立方体表面，都是流形。但是它并不严格限定于二维，甚至不局限于能想像到的东西，真是见鬼。曲线是流形，四维时空是流形。它相当普遍，能够描绘出一个空间。但是，让我们只专注于二维表面。最简单的表面是平面，就像电脑屏幕。当我们用CNN做卷积时，我们往往都是针对这些平面图像来做的。
假设，我们想用CNN来预测天气。对一个单独的国家，这很容易：用当地的天气数据作为输入，然后keras-keras-咚，你有了一个训练好的模型。如果我们想对全球天气分类呢？你怎样安置在一张图片里？也许是：
（来自 Pixabay 的图片）
但有一个问题。在现实中，左边缘和右边缘是同一个地点。而且，整个上边缘对应一个点，下边缘也是如此。整个对应关系都扭曲了。有没有试过摊平一个乒乓球？是的，确实没弄好。当我们尝试应用卷积时，我们会得到奇怪的结果。边缘会出现不合常理的情况。它可能会预测图片的最右侧会有强东风，然而图片左边什么也没有，即使它们代表相同的地点。CNN根本不知道地球是环回的。
或者，我们可以对地球生成多个重叠的地图，然后对它们应用CNN。这些地图的集合也称作地图册。在确保下一张地图开始于上一张地图相同的重合点的情况下，把CNN在这些单独的地图上平移，这样应该能让它认识到地球是圆的。这是几何深度学习的基本思想：直接应用深度学习于表面或流形上，以保留几何结构。然而，这有一个问题。一个大问题。
0 2
我们去新加坡吧！
现在，让我们暂时忘掉天气，然后拿出指南针。假设你在新加坡。面朝北方，经过泰国，穿越中国、蒙古直到北极。保持方向不变，一直往前走。你将会穿越加拿大、美国，直到你抵到美洲中部的某个地方。在那里止步，然后开始橫向游泳，穿越太平洋，保持方向不变！经过无数次奋力击水，你会最终回到新加坡。但是等一等。你从没改变方向，但是为什么现在却是面朝南方？
让我们再重复一次旅程，但这次我们抵达北极后，朝左横向移动。我们会到达尼日利亚附近，然后开始向后走，此时还是不改变方向。等我们回到新加坡，这次我们居然朝向西方？奇怪……不相信我？你自己试一试，带一个指南针，然后开始游泳……
这个问题是由球面曲度造成的，我们把“不改变方向的移动”叫作平移。你也看到了平移非常依赖于球体上的路径。然而，在二维平面上不受影响。你可以保持方向行走任何一条路径，回到起点后，方向不变。因此，我们说平面是可平行的（回到起点后，你的方向矢量仍旧保持平行），而球面不是。
你会发现这对于我们在球面上的CNN来说是一个问题。当我们把CNN在所有地图上朝四面八方移动时，方向似乎会改变。我们需要想办法确保这种怪现象不会影响到我们的结果！或者，至少我们应该知道如何解决它。
0 3
毛茸茸的球
我们必须引入更多的数学概念才能找到答案。指南针上的指针可以看作是平面上指向某个方向的矢量，基本都指向北方。指针转动所形成的平面与地球表面相切，我们把它称作这一地点的地球切线空间。尽管地球是圆的，但切线空间却是纯平的。它就像是一个本地坐标系统，以北和东作为坐标矢量。因为我们可以在地球任一地点掏出指南针，所以每一个地点都有自己的切线空间。但我们也可以把40°和130°定义为我们的坐标矢量。在这种情况下，北以及其它方向都没特别之处，可以任意选择。
现在，让我们在切线空间中任选一个方向，并沿此方向朝前走一步。我们确保走最短路径（曲面上的），然后到达一个新点。你也许会称之为“前进”，但是，让各位糊涂的是，我们把这个过程叫作指数映射（之所以叫这个名字，是因为所有这些微小的步伐神奇地相似于指数函数的级数展开……但这现在不重要）。
让我们再看看指南针的指针。指南针为地球上“每个”地点指定了一个矢量的现象叫作（切线）矢量场。风也可以看作是矢量场，因为它为每一个点指定了一个方向。我特别把“每个”加上引号，是因为当你站在磁北极或磁南极时，指南针会出错。事实上，在球面的每一个非零连续矢量场上，它都会出错。球体的磁场中必须有极地存在。这种现象叫毛球定理，因为跟梳理毛球就必然产生漩毛涡的情况很像：
（图片来自Wikipedia）
矢量场不需要跟切线空间有相同维度。相反，在每一点，它可以有自己任意维度的矢量空间。这很重要，因为我们也想能在地球的每一个点上指定三维或99维矢量，而不仅仅是二维方向。场中每一个点上的矢量空间也被称作纤维丛。
（一个特殊类型的场叫作标量场。它只有一个维度，温度就可以看作是这样的标量场）
0 4
规范
每个地方测量温度都不一样。在德国这里，我们用摄氏度。在美国用华氏度。这种不同的选择，叫作规范。是的，这个词是从测量工具那里派生来的。现在，每当我看一条来自美国的天气预报，我不得不计算一下华氏度等于多少摄氏度。我们有不同的准则。这种计算叫作规范变换。注意，实际的温度没有改变，只不过我们用来表示的数值不同，而且变换是简单的线性函数。
如果我们考察矢量场，比如风的方向，情况就变得复杂起来。极端一点，我们假设有个国家叫规范国，它并不在乎南北，而是以星座或受惊刺猬逃跑的方位作为他们方向系统的基础。这些人描述风时，我们必须做规范变换才能知道他们在说哪个方向。现在，规范变换变成了可逆矩阵的乘法（显然必须是双向的）。这种矩阵的群，叫作一般线性群，或GL。
对于理论上平坦的地面，选择出一个风的规范，到处都可以适用。但是在球面，我们遇到一些问题。我们没法定义一个统一的规范，而是不得不依赖多个规范和地图。至于为什么必须是这样，从平行化问题和毛球定理中，我们可以获得一些启发。
这自然意味着我们需要多个风向地图。但是，我们不再允许规范国乱来，规定至少他们所使用的矢量的大小（风速）必须跟我们的一致。我们只允许他们使用不同的方向。由此，每一个规范变换都简化为了旋转。这些变换也构成一个群，名叫特殊正交群，或SO，它是GL的子群。通过选择不同结构的群，我们有效地减少了规范场理论可能会有的变换。
0 5
回到深度学习
我们回到原来的问题，想要在风向矢量场上进行卷积。这里，风代表输入特征。假设我们想要找龙卷风方向作为输出。我们可以对“small patch”执行卷积以从风向提取这些输出特征。（注意：我不知道这是否具有气象意义...输入向量到输出向量...这就是我们需要知道的全部）
但“small patch”是一个非常模糊的描述。在二维平面上，它是直截了当的，我们可以把一些球内的所有东西都放在补丁的中心周围。这在某种程度上也适用于完美的球体。但在任意的多个面？事情变得棘手。看看这个时髦的流形：
图像来自维基百科
它被称为Klein瓶，我们可以看到，点之间的原始距离是有问题的。我们可能永远不会需要Klein瓶进行深度学习，但我们希望尽可能保持一般性。
我们需要的是一种仅在流形附近包含卷积点的方法。我们确实有办法做到这一点。回想一下，指数图在我们的流形上做了微小的步骤来找到附近的点。所以让我们用它。从中心开始，我们向切线空间允许的每个方向迈出一步，并将这一点包含在我们的卷积中。
我们现在需要的是一些与卷积相关的函数。因此，我们定义了一个内核，为每个指针分配一个矩阵......等待，不，我们用指数映射的切线空间的每个方向。这有点奇怪，但是当你看到经典的2-D卷积时，它实际上也是如此。它不是那么明显，因为它在飞机上。
该矩阵乘以输入矢量并产生输出矢量。在这里，作者确定了第一个问题。该矩阵仅针对中心定义。但是我们将它应用于附近点的场矢量，它们有自己奇怪的属性。在一个平面上，这不是问题，但在我们的领域，它们略有不同，我们不能只应用内核。
让我们解决这个问题并将这些点上的向量传输回我们small batch的中心。在这里，我们可以应用我们的矩阵，而不必担心奇怪的曲率问题。
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规范等价
到目前为止我们定义的卷积似乎是明智的。 我们应用我们的内核来获取数据并得到一个很好的结果： 龙卷风向东移动。 但不知何故，与所谓的规范国相比，我们仍然得到不同的结果？ 他们预测龙卷风正在向左移动？
啊，是的： 我们需要衡量将他们的结果转化为我们的框架aaa和voila： 他们预测龙卷风会向西走..还是错的..
发生了什么？ 我们忘了让我们的卷积规范变得相同。 简而言之，内核的结果必须依赖于所选择的规格并且等效地变换。 如果没有，我们只会得到无法相互关联或相互比较的奇怪结果。
但是输出矢量可能是一个不同的维度，或者与输入有不同的解释，我们如何将输入的规范变换与输出的等变“规范变换”联系起来？ 好吧，因为结构组仅作用于输入，所以想法是找到作用于输出向量的同一组的表示。 例如，具有旋转组作为其结构组的2-D输入矢量的变换可以由围绕单个轴旋转的3-D输出矢量表示。 当2-D矢量旋转时，3-D输出也围绕固定轴旋转。 通常，可以存在许多表示，例如在3D中可以存在许多不同的旋转轴。 关键是，它做了代表相同动作的事情。
有了表示的概念，我们可以使卷积规范变得相同。 我们只需要确保输入矢量的规范变换导致输出矢量的等变变换（即，相同的变换，但在适当的表示中）。
现在，使用规范等价，当我们在不同的地图上执行卷积时，我们在数字上得到不同的结果，但是他们的结果是一致的。 这是我们定义卷积以在整个范围内有意义的最佳方式。
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二十面体？
我们基本上涵盖了论文的第2部分。作者现在转向二十面体，它与拓扑结构非常相似，但更好。它们更好，我们可以比球体更容易离散它们。
就像我们用多个地图覆盖地球时一样，让我们用五个重叠的地图覆盖二十面体（重叠用小的全白三角形表示）：
图像来自论文
美丽，地图甚至大小相同。难怪他们选择了这种多样性。我们也可以将其视为图表。注意，每个节点，即每个交叉点，是具有输入特征向量的歧管上的点（在上图中不可见）。每个小三角形都有3个角，每个角都是这些节点之一。他们是我们感兴趣的。
那么，让我们做卷积！
首先，我们需要看看我们的指数地图是什么样的。好吧，在我们的离散流形上，这很容易。我们只是从节点开始向任何方向迈出一步。方向在上图中可见为连接节点的线。因此，大多数节点有6个邻居，除了在二十面体的角落有5个邻居。
接下来，我们需要一个内核函数。但我们很懒，不想重新发明轮子。因此，我们只使用标准2D卷积的3 x 3滤波器。这些3 x 3滤波器具有中心点和8个邻居。这比我们需要的还要多。所以，让我们忽略3 x 3网格中的右上角和左下角邻居，将它们设置为0并假装它只有6个邻居。
剩下的就是让这个东西变得规范。那么，让我们来看看我们的二十面体的结构组。我们已经注意到，我们只能进入6个不同的方向。如果我们在这个结构上描述风，我们将只有6个不同的参照系，每个参考系旋转60°。这也可以配制成具有6级或C6的环状基团作为其结构基团。
最后，我提到我们的地图是重叠的。因此，如果我们想要在具有重叠的区域上移动卷积滤波器，我们基本上使用来自不同映射的值。我们如何处理这些值？在我们使用它们之前，我们会测量它们到正确的帧。瞧，我们正在对二十面体进行卷积。
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结论
在我看来，本文为几何深度学习领域提供了基本的结果。在进行卷积时理解规范等价的总体思路和重要性是这里的主要内容。
我希望我的非数学解释有助于理解论文中提出的想法。如果你发现这类事情很有趣并想要硬核数学，那么一定要看看Nakahara的“几何，拓扑和物理”。
