[置顶] 划分树小结

最近学习了一下划分树,下面总结一下。

我们在求区间最值的时候,一般可以用线段树解决,但是如果要求区间第k小或者第k大值的话线段树就有点力不从心了,这是我们可以用划分树来解决。划分树利用了快速排序的思想,首先是建树,我们设当前区间的中位数为mid,(为了能快速找到区间的中位数,我们一般先对原序列做一次排序)则我们将区间中比mid小的放入左子树,将区间中比mid大数的放入右子树中,和mid相等的要讨论一下,有些需要放到左子树中,其他的放右子树中注意我们将数字放入子树的时候其相对顺序是不变的。这样我们一层一层下去,每次区间都减半,则空间消耗为O(nlogn)。下面看一个例子。


假设序列长度为9,依次为 3 5 7 3 4 9 4 2 5,怎我们看看建树完成后是什么样子。

sort[ ][2  3  3  4  4  5  5  7  9]

tree[0][3  5  7  3  4  9  4  2  5]

tree[1][3  3  4  4  2][5  7  9  5]

tree[2][3  3  2][4  4][5  5][7  9]

tree[3][3  2][3][4][4][5][5][7][9]

tree[4][2][3][3][4][4][5][5][7][9]


好了,树建完了,接下来就是最关键的查询了,我们设函数query(p,l,r,s,t,k)表示在第p层子树区间范围在[l,r]的子树中查找区间[s,t]中的第k小值。我们在每一颗子树中设sum[i]表示区间[l,i]范围内有多少个数字被放到了左子树中,那么我们容易得到,sum[t]-sum[s-1]表示在区间[s,t]有多少个树被放入了左子树中,我们不妨设这个值为num,若k<=num,我们就可以知道我们要找的数一定在左子树中,否则一定在右子树中,我们接下来只要继续往下遍历,当l==r的时候我们就可以确定我们要找的数,容易知道这一步骤的复杂度为O(log n),现在关键的一点就是如何再往下便利的时候确定ls,t的值这个其实自己画画图就很容易出来的,下面只写结论,这里先设区间[l,s-1]中被放入左子树的数有snum个,当前区间的中点为mid

则若k<=num,我们返回query(p+1,l,mid,l+snum,l+sum[t]-1,k),(要找的数在左子树上)

否则,我们返回query(p+1,mid+1,r,mid+1-l+s-snum,mid+1-l+t-sum[t],k-num);(要找的数在右子树上)

下面再举个例子,数和上面一样

我们现在要找到区间[2,7]中的第3小数。

 

sort[ ][2  3  3  4  4  5  5  7  9]

tree[0][3  5  7  3  4  9  4  2  5]

tree[1][3  3  4  4  2][5  7  9  5]

tree[2][3  3  2][4  4][5  5][7  9]

tree[3][3  2][3][4][4][5][5][7][9]

tree[4][2][3][3][4][4][5][5][7][9]

以上橙黄色背景的数字即为我们要求的范围。

我们首先在第一层树上寻找,即query(0,1,9,2,7,3),我们发现在[2,7]区间中有3个数被放入了左子树,满足k<=num,所以我们往左子树中找,调用query(1,1,5,2,4,3)

在第二层中我们发现区间[2,4]只有一个数被放入左子树,所以我们要找的数一定在右子树中,调用query(2,4,5,4,5,2)。

在第三层中,我们发现区间[4,5]只有一个数被放入左子树,同理我们应该往右子树找,调用query(3,5,5,5,5,1)。现在可以发现l==r,则我们可以确定已经找到了要找的数,则返回4即可,我们可知在区间[2,7]上第3小的数为4

基础的划分树就到这里,下面给出我的代码

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#define maxn 100010
#define mid ((l+r)>>1)
using namespace std;
int t[20][maxn],sum[20][maxn];
int a[maxn],as[maxn];
//以下为查找区间第k小划分树
void build(int p,int l,int r)
{
    int lm=0,i,ls=l,rs=mid+1;//lm表示应被放入左子树且与中位数相等的数有多少个,ls为左子树的起始位置,rs为右子树的起始位置
    for(i=mid;i>=l;i--) //求lm
    {
        if(as[i]==as[mid])
        lm++;
        else
        break;
    }
    for(i=l;i<=r;i++)
    {
        if(i==l)//这里要特殊讨论
        sum[p][i]=0;
        else
        sum[p][i]=sum[p][i-1];
        if(t[p][i]==as[mid])//若与中位数相等则判断是否应该被放入左子树
        {
            if(lm)
            {
                lm--;
                sum[p][i]++;
                t[p+1][ls++]=t[p][i];
            }
            else
            t[p+1][rs++]=t[p][i];
        }
        else if(t[p][i]<as[mid])//查找区间第K大即为>
        {
            sum[p][i]++;
            t[p+1][ls++]=t[p][i];
        }
        else
        t[p+1][rs++]=t[p][i];
    }
    if(l==r)
    return;
    build(p+1,l,mid);
    build(p+1,mid+1,r);
}
int query(int p,int l,int r,int ql,int qr,int k)
{
    int s,ss;//s表示l到ql-1的区间内放入左子树的个数,ss表示区间[ql,qr]被放入左子树的个数
    if(l==r)//找到所求的数
    return t[p][l];
    if(ql==l)
    s=0,ss=sum[p][qr];
    else
    s=sum[p][ql-1],ss=sum[p][qr]-s;
    if(k<=ss)//要找的数在左子树中
    return query(p+1,l,mid,l+s,l+sum[p][qr]-1,k);
    else//要找的数在右子树中
    return query(p+1,mid+1,r,mid+1-l+ql-s,mid+1-l+qr-sum[p][qr],k-ss);
}

下面是两道划分树的模板题

 

poj 2104

题解这里有http://blog.csdn.net/dyx404514/article/details/8732257

hdu 4417

题解这里有http://blog.csdn.net/dyx404514/article/details/8732468


 




 

posted @ 2013-03-28 21:04  xinyuyuanm  阅读(177)  评论(0编辑  收藏  举报