俄罗斯为何把微积分下放到中学讲授？

        在我们看来，在中学阶段讲授微积分是所谓“下放”，但是，在俄罗斯方面看来，在中学阶段讲授微积分是必须的，不是“下放”。这是为什么呢？

          我们先把事情搞清楚，不能闭起眼瞎说话。根据北京师范大学数学科学学院的研究，俄罗斯中学10-11年级的《代数与数学分析初步》课程，共有六章内容。各章分别是：三角函数；导数和它的应用；原函数和积分；指数和对数函数；复习题；具有一定难度的习题。教材可以使用139学时完成（周学时数为3的基础课程（A）），也可以使用204学时完成（周学时数为5的典型课程（B））。该书编排特点是：先讲三角函数，按照历史的顺序编排微积分内容，指数函数和对数函数的学习安排在微积分之后。同时，教材在每一章的最后一节介绍相关历史知识。教材最大的特色是提供了适合于数学教学活动的丰富习题体系。

该教材主编A.Kolmogorov院士采用这种方式安排教材内容是有道理的，也是逻辑展开初等数学的需要。这种安排的优点是：还原了微积分学的历史原貌，书中有丰富的历史知识，类似讲授物理学的讲授，使得学生懂得微积分学的历史发展及其由来，同时，按照数学概念的内在逻辑来展开数学这门知识体系，使学生的知识结构比较扎实，不是“空中楼阁”。为什么这么说呢？

与我们国内情况相比，国内高中数学教材采用集中讲述全部初等函数（三角函数，指数函数与对数函数等），实际上，高三年级全部时间为迎接”高考“做准备，微积分知识（列为“选修课”）形同虚设。我们要问：在这种教学内容安排下，指数函数是怎么向学生交代的？也就要问：2的√2(无理数)次方是如何定义的？如果没有微积分学中的实数与极限概念，这一点是任何人都无法向学生们讲清楚的。这种“知识缺陷”（即没有微积分极限概念支撑的初等函数“空中楼阁”）始终存在于我国中学毕业生的脑壳之中。从这一点上来看，中国孩子们的数学知识结构不如俄罗斯孩子们“实”，我们比较”虚“，因为，孩子们头脑里面存在逻辑缺陷。那么，我们怎么办呢？

在《基础微积分》电子版第八章第一节第432页，J.Keisler给出如下定义：

DEFINITION

Let a and r be real,a >0. We define a的r次方（抱歉，r应该打在a的右上角，我不会打上去）等于st(a的K/H次方），where K/H≈r。

这里，H与K是两个无限大的自然数，其比值无限地接近于实数r。我们只要能够保证以下条件成立：

                                      K ≤ Hr < K+1              （两侧同时除以H，1/H为无穷小）

就可以了。实际上，a的K/H（超有理数）次方是学生们容易想象的。如此以来，我国中学生脑壳中的“逻辑缺陷”就消失了，北京超越了莫斯科。

           说明：袖珍电子书涉及到中学数学教学的改革，这是我原先没有想到的。