MathProblem 59 Two primes problem

Show that any prime number other than 2 can be expressed as the difference of two squares, where each square is an integer squared.

Solution

任何质数都是奇数。考虑相邻数的平方差：

\[(x+1)^2-x^2=2x+1 \]

所以这些差都是奇数，自然就包括所有的质数。

进一步，考虑两个数 \(a,b\):

\[p=a^2-b^2=(a+b)(a-b) \]

很明显只有一个答案，因为素数 \(p\) 只有一种分解：\(p=1\times p\)

\[a-b=1, a+b=p \]