MathProblem 39 Zeros and ones problem

What is the smallest integer greater than 0 that can be written entirely with zeros and ones and is evenly divisible by 225?

Solution

将其分解：

\[225 = 5\times 5\times 9 \]

对于两个 \(5\), 显然 \(\times 2\) 以后就可以得到 \(10\). 那么如何求出由 \(0,1\) 组成的最小整除 \(9\) 的数呢？

注意到，如果一个数所有位数的和能够被 \(9\) 整除，那么这个数也能被 \(9\) 整除。那么答案就很显然了：\(111,111,111\)

所以最终的答案就是:

\[11,111,111,100 \]