MathProblem 4 Ant and spider problem

An ant and a blind spider are on opposite corners of a cube. The ant is stationary and the spider moves at random from one corner to another along the edges only. What is the expected number of turns before the spider reaches the ant? Optional: Also solve for a square, octahedron, icosahedron, and dodecahedron.

Solution

蚂蚁 \(a\) 在一角，蜘蛛 \(s\) 在对角。问期望下需要多少步，才能达到 \(a\).

假设：

• \(x\): 从 \(s\) 到 \(a\) 的步数
• \(y\): 从与 \(a\) 同一面的 \(a\) 的对角 \(t\) 出发到 \(a\) 的步数
• \(z\): 从与 \(a\) 同一面的 \(a\) 的邻边 \(w\) 出发到 \(a\) 的步数

考虑如何转移。从 \(s\) 出发，那么一定会到其中一个 \(t\). 所以：

\[E(x) = 1+E(y) \]

从当前的 \(t\) 出发，那么有 \(2/3\) 的概率到达 \(w\), \(1/3\) 的概率达到 \(x\):

\[E(y) = 2/3\cdot [1+E(z)]+1/3\cdot [1+E(x)] \]

到达 \(w\) 以后，有 \(1/3\) 的概率直接达到 \(a\), \(2/3\) 回到 \(t\):

\[E(z) = 1/3\cdot 1+2/3\cdot [1+E(y)] \]

最后求解方程组即可