逻辑推理题

已知有两个数 \(2 \leq A,B< 100\)，甲知道 \(A+B\), 乙知道 \(A\times B\)，对话如下：
甲：我不知道，但是你也不知道
乙：现在我知道了
甲：那我也知道了

问这两个数分别是什么？

Solution

假设两个数为 \(A,B\)，且都满足 \(2\leq A,B\leq 100\)。甲知道 \(A+B\)， 乙知道 \(A\times B\). 由第一句可知，乙并不能推断具体的数字，由此根据质因数分解定理：一个数可以分解为若干个质因数幂次的乘积。所以 \(A\times B\) 必定不是两个质数的乘积，否则乙可以立马推断出来（因为只有这一种分解方式）。

这是结论1：这两个数必不可能都为质数

思考甲的第一句话，他很肯定乙第一次猜不出，利用上面的结论，如果 \(A+B\) 可以分解为两个质数的和，显然他并不能确定乙第一次能不能猜出，因为有阔能乙的乘积恰好就是那两个质数的乘积，这样乙可以立即猜出。根据哥德巴赫猜想，$3\sim 98 $ 以内的偶数都能由两个奇质数的和表示，因此我们可以得到结论2：两数的和为奇数

因此必定为一个奇数和一个偶数。但是注意：\(2\) 也是质数，但是偶数。所以形如 \(2+p\) 结构的数也应该去除。此时满足条件的为： \(11，17，23，27，29，35，37，41，47，51， 53，57，59，65，67，71，77，79，83，87，89，93，95，97\)

除了上述情况，还存在一种可能就是：\(A\times B = 2\times p_1\times p_2\)，其中 \(p_1,p_2\) 为质数。可以发现这有三种组合方式来构成 \(A,B\). 思考一下什么情况下，乙在将其分解为上述表达以后可以立即得出答案。即：当三种组合方式中有两种不符合题目条件时，便可以自动得出答案。如果 \(2\times p_1\ge 100\)，显然只有一种组合方式： \((2\times p_2) \times p_1\)，这里 \(2\times p_2\) 我们假设满足条件。所以我们可以得到第三个结论：形如 \(2\times p_2+p_1\) 的奇数也不满足条件，其中 \(p_1\geq 53。\) 所以由此检验一下，比如：

\[\begin{align} 57 &= 2*2+53\\ 87 &= 2*2+83\\ ... \end{align} \]

此时可以筛选得到的数为：\(11，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53\)

再继续挖掘信息，甲在听说乙知道了以后，他也知道了。说明组成乙的乘积的 \(A,B\) 它们的和 \(A+B\) 有且只有一个在上述的数中，否则甲无法唯一确定。

因此更进一步，考虑答案 \(S=A+B\)，对于任意一个可能的 pair \((S-x,x)\) （其和为 \(S=A+B\)），仅存在一组 pair \((S-x^*,x^*)\)的乘积的分解对应的和在上述的备选项中。而其他的 pair \((S-y,y)\)，其乘积 \(y\times (S-y)\) 可以分解所对应的和有两个甚至以上的 candidate 在上述备选项中。

将备选项集合记为： \(\mathcal{S} = \{11，17，23，27，29，35，37，41，47，51，53 \}\)，现在开始检验，比如：

\[23 = 16+7=4+19 \]

而对于 \(16*7\)的分解，仅有 \(16+7\) 为奇数，同样的 \(4*19\) 也只有 \(4+19\) 为奇数，而23此时不能被唯一确定，所以筛去。 那么我们依次检验集合 \(\mathcal{S}\) 中的数，最后只剩下 \(17\). 考虑一下 \(17\) 怎么分解：

\[17 = 4+13 = 5+12 = 6+11=.... \]

最后检验是不是这些pair中，是不是只有一组满足条件。比如说对于 \((6+11)6*11 = 2*3*11\)，可能的结果有： \(2+(3*11)=35,(2*3)+11=17,(2*11)+3=25\)，但是 \(35,17\) 都在集合中。所以最后只有 \(4,13\) 满足。