Loj #10177 USACO 2011 Open Gold 修剪草坪 单调队列优化DP

在一年前赢得了小镇的最佳草坪比赛后，FJ 变得很懒，再也没有修剪过草坪。现在，新一轮的最佳草坪比赛又开始了，FJ 希望能够再次夺冠。

然而，FJ 的草坪非常脏乱，因此，FJ 只能够让他的奶牛来完成这项工作。FJ 有$N$只排成一排的奶牛，编号为$1$到$N$ 。每只奶牛的效率是不同的，奶牛$i$的效率为$E_i$ 。

靠近的奶牛们很熟悉，如果 FJ 安排超过$K$只连续的奶牛，那么这些奶牛就会罢工去开派对。因此，现在 FJ 需要你的帮助，计算 FJ 可以得到的最大效率，并且该方案中没有连续的超过$K$ 只奶牛。

输入格式
第一行：空格隔开的两个整数$N$和$K$；

第二到$N+1$行：第$i+1$行有一个整数$E_i$。

输出格式
一行一个值，表示 FJ 可以得到的最大的效率值。

Solution:

用 $dp[i][1/0]$表示以奶牛$i$结尾时，此时能收获的最大值，$1:choose,0:not\ choose$. 显然最终的答案为$\max\{dp[n][1],dp[n][0]\}$.
现在考虑如何转移，如果不选，则很简单：$dp[i][0] = \max(dp[i-1][0],dp[i-1][1])$
如果此时选了，则$dp[i][1] = \max_j(dp[j]+sum[i]-sum[j]), i-j+1\leq K$.其中 $sum[i]$表示前缀和。
所以此时需要维护的是一个区间的最大值，得到$dp[i][1]$。
那么我们对这维护一个单调队列，当不满足区间长度要求时，将队头$head$弹出，当有更优的解时，进队尾$tail$。

点击查看代码

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1]);
// maintain the head
while (head <= tail && q[head] < i - k)++head;
dp[i][1] = sum[i] - sum[q[head]] + ll(dp[q[head]][0]);
 // maintain the tail
while (head <= tail && dp[i][0] - sum[i] > dp[q[tail]][0] - sum[q[tail]]) --tail;
q[++tail] = i;