角点 (corners) 的定义有两个版本:两条边缘的交点,或  邻域内具有两个主方向的特征点

    从人眼来看,角点是图像亮度发生剧烈变化的点 或 边缘曲线上曲率为极大值的点例如,下图 E 和 F 便是典型的角点

        

 

1  检测思路

    在图像中定义一个局部小窗口,然后沿各个方向移动时,会出现 a) b) c) 三种情况,分别对应平坦区、边缘和角点:

     a)  窗口内的图像强度,在窗口向各个方向移动时,都没有发生变化,则窗口内都是 “平坦区”,不存在角点

     b)  窗口内的图像强度,在窗口向某一个 (些) 方向移动时,发生较大变化;而在另一些方向不发生变化,那么,窗口内可能存在 “边缘

     c)  窗口内的图像强度,在窗口向各个方向移动时,都发生了较大的变化,则认为窗口内存在 “角点

        

                 a)  flat region              b)  edge                     c)  corner

 

2  Harris 角点

2.1  泰勒展开

    图像在点 $(x,y) $ 处的灰度值为 $I(x, y)$,当在 $x$ 方向上平移 $\Delta u$,且 $y$ 方向上平移 $\Delta v$ 时,图像灰度值的变化为

 $ \qquad E(\Delta u,\Delta v) = \sum\limits_{x,y}  \, \underbrace{w(x,y)}_\text{window function} \; [\underbrace{I(x+\Delta u, y+\Delta v)}_\text{shifted intensity} - \underbrace{I(x, y)}_\text{intensity}]^2 $

    $I(x,y)$ 的偏导数分别记为 $I_x$ 和 $I_y$,则上式用二元一阶泰勒级数近似展开

    $ \qquad \sum\limits_{x,y}  \; [I(x+\Delta u, y+\Delta v) - I(x, y)]^2 \approx \sum\limits_{x,y}  \; [I(x, y) +\Delta uI_x + \Delta vI_y - I(x, y)]^2 = \sum\limits_{x,y}  \; [\Delta u^2I_x^2 + 2\Delta u \Delta vI_x I_y + \Delta v^2I_y^2 ] $

    写成矩阵形式

    $ \qquad E(\Delta u,\Delta v) \approx \begin{bmatrix} \Delta u & \Delta v \end{bmatrix} \left ( \displaystyle \sum_{x,y} w(x,y) \begin{bmatrix} I_x^{2} & I_{x}I_{y} \\ I_xI_{y} & I_{y}^{2} \end{bmatrix} \right ) \begin{bmatrix} \Delta u \\ \Delta v \end{bmatrix}$

    则有

    $ \qquad E(\Delta u,\Delta v) \approx \begin{bmatrix} \Delta u & \Delta v \end{bmatrix} M \begin{bmatrix} \Delta u \\ \Delta v \end{bmatrix}$,    假定  $ M = \displaystyle \sum_{x,y} w(x,y) \begin{bmatrix} I_x^{2} & I_{x}I_{y} \\ I_xI_{y} & I_{y}^{2} \end{bmatrix}$

2.2  判别方法  

    定义角点响应值 $R = det(M) - k(trace(M))^{2} = \lambda_{1} \lambda_{2} - k (\lambda_{1}+\lambda_{2})^2 $,根据响应值的大小,判断小窗口内是否包含角点:

     1) “平坦区”:|R| 小的区域,即 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 都小;

     2)  “边缘”: R <0 的区域,即 $\lambda_1 >> \lambda_2$ 或反之;

     3)  “角点”: R 大的区域,即 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 都大且近似相等    

    为了便于直观理解,绘制成 $\lambda_1-\lambda_2$ 平面如下图:

       

2.3  cornerHarris()

    OpenCV 中 Harris 角点检测的函数为: 

void  cornerHarris (
    InputArray      src,   // 输入图像 (单通道,8位或浮点型)
    OutputArray     dst,   // 输出图像 (类型 CV_32FC1,大小同 src)
    int      blockSize,    // 邻域大小
    int      ksize,        // Sobel 算子的孔径大小
    double   k,            // 经验参数,取值范围 0.04 ~ 0.06
    int      borderType = BORDER_DEFAULT    // 边界模式
)      

 2.4  代码示例

#include "opencv2/highgui.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"

using namespace cv;
// Harris corner parameters
int  kThresh = 150;
int kBlockSize = 2;
int kApertureSize = 3;
double k = 0.04;

int main()
{
    // read image
    Mat src, src_gray;
    src = imread("building.jpg");
    if(src.empty())
        return -1;
    cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY);

    Mat dst, dst_norm, dst_norm_scaled;
    // Harris corner detect
    cornerHarris(src_gray, dst, kBlockSize, kApertureSize, k);

    normalize(dst, dst_norm, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_32FC1);
    convertScaleAbs(dst_norm, dst_norm_scaled);

    // draw detected corners
    for(int j=0; j < dst_norm.rows; j++)
    {
        for(int i=0; i<dst_norm.cols;i++)
        {
            if((int)dst_norm.at<float>(j,i) > kThresh)
            {
                circle(src, Point(i, j), 2, Scalar(0,255,0));
            }
        }
    }

    imshow("harris corner", src);
    waitKey();
}  

    检测结果:

   

 

3  Shi-Tomasi 角点

  Shi-Tomasi 角点是 Harris 角点的改进,在多数情况下,其检测效果要优于 Harris。二者的区别在于,Shi-Tomasi 选取 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 中的最小值,作为新的角点响应值 $R$

  $\qquad R = min(\lambda_1, \lambda_2)  $

  则相应的 $\lambda_1-\lambda_2$ 平面为:

  

3.1  goodFeaturesToTrack()

    OpenCV 中 Shi-Tomasi 角点检测函数为:

void  goodFeaturesToTrack (     
        InputArray      image,     // 输入图像 (单通道,8位或浮点型32位)
        OutputArray     corners,   // 检测到的角点
        int         maxCorners,    // 最多允许返回的角点数量
        double      qualityLevel,  //  
        double      minDistance,   // 角点间的最小欧拉距离
        InputArray  mask = noArray(), //
        int         blockSize = 3,    //
        bool        useHarrisDetector = false,  //
        double      k = 0.04  // 
    )   

3.2  代码示例

#include "opencv2/highgui.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"

using namespace cv;
using namespace std;

int kMaxCorners = 1000;
double kQualityLevel = 0.1;
double kMinDistance = 1;

int main()
{
    // read image
    Mat src, src_gray;
    src = imread("building.jpg");
    if (src.empty())
        return -1;

    cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY);
    // Shi-Tomasi corner detect
    vector<Point2f> corners;
    goodFeaturesToTrack(src_gray, corners, kMaxCorners, kQualityLevel, kMinDistance);

    // draw and show detected corners
    for (size_t i = 0; i < corners.size(); i++)
    {
        circle(src, corners[i], 2.5, Scalar(0, 255, 0));
    }
    imshow("Shi-Tomasi corner", src);
    waitKey();
}  

   检测结果:

  

 

4  角点检测的实现

   分析 cornerHarris() 源码,复现计算步骤:Sobel 算子求解 dx 和 dy  ->  矩阵 M  -> boxFilter  -> 每个像素的角点响应值 R,对应 C++ 代码实现如下:

#include <iostream>
#include "opencv2/highgui.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"

using namespace cv;
using namespace std;

int kApertureSize = 3;
int kBlockSize = 2;
double k = 0.04;
int  kThresh = 150;

int main()
{
    // read image
    Mat src, src_gray;
    src = imread("chessboard.png");
    if (src.empty())
        return -1;
    cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY);

   //  determine scale
    double scale = (double)(1 << (kApertureSize - 1)) * kBlockSize;
    scale *= 255.0;
    scale = 1.0 / scale;

    // 1) dx, dy
    Mat Dx, Dy;
    Sobel(src_gray, Dx, CV_32F, 1, 0, kApertureSize, scale);
    Sobel(src_gray, Dy, CV_32F, 0, 1, kApertureSize, scale);

    // 2) cov matrix
    Size size = src_gray.size();
    Mat cov(size, CV_32FC3);
    for (int i = 0; i < size.height; i++)
    {
        float* cov_data = cov.ptr<float>(i);
        const float* dxdata = Dx.ptr<float>(i);
        const float* dydata = Dy.ptr<float>(i);

        for (int j=0; j < size.width; j++)
        {
            float dx = dxdata[j];
            float dy = dydata[j];

            cov_data[j * 3] = dx * dx;
            cov_data[j * 3 + 1] = dx * dy;
            cov_data[j * 3 + 2] = dy * dy;
        }
    }

    // 3) box filter
    boxFilter(cov, cov, cov.depth(), Size(kBlockSize, kBlockSize), Point(-1,-1), false);

    // 4) R
    Mat dst(size,CV_32FC1);
    Size size_cov = cov.size();
    for (int i = 0; i < size_cov.height; i++)
    {
        const float* ptr_cov = cov.ptr<float>(i);
        float* ptr_dst = dst.ptr<float>(i);
        for (int j=0; j < size_cov.width; j++)
        {
            float a = ptr_cov[j * 3];
            float b = ptr_cov[j * 3 + 1];
            float c = ptr_cov[j * 3 + 2];
            ptr_dst[j] = (float)(a * c - b * b - k * (a + c) * (a + c));
        }
    }

#if HARRIS_OPENCV  // compare with cornerHarris()
    cornerHarris(src_gray, dst, kBlockSize, kApertureSize, k);
#endif
    
    // 5) normalization
    Mat dst_norm, dst_norm_scaled;
    normalize(dst, dst_norm, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_32FC1);
    convertScaleAbs(dst_norm, dst_norm_scaled);

    // 6) drawing corners
    for (int j = 0; j < dst_norm.rows; j++)
    {
        for (int i = 0; i < dst_norm.cols; i++)
        {
            if ((int)dst_norm.at<float>(j, i) > 150)
            {
                circle(src, Point(i, j), 2, Scalar(0, 255, 0));
            }
        }
    }
    imshow("Harris corner", src);
    waitKey();
}  

   检测结果:将求得的角点响应值$R$,输出 txt 文件,与 cornerHarris() 输出的 $R$ 进行比较,结果几乎完全相同 (只有几处小数点后7位的值不同)

 

5  亚像素角点

 5.1  cornerSubpix()

    亚像素角点提取的函数 cornerSubPix(),常用于相机标定中,定义如下:

void  cornerSubPix(
        InputArray          image,  // 输入图象(单通道,8位或浮点型)
        InputOutputArray  corners,  // 亚像素精度的角点坐标
        Size              winSize,  // 搜索窗口尺寸的 1/2
        Size             zeroZone,  //
        TermCriteria     criteria   // 迭代终止准则
)    

5.2  代码示例

#include <iostream>
#include "opencv2/highgui.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"

using namespace cv;
using namespace std;

int kMaxCorners = 40;
double kQualityLevel = 0.01;
double kMinDistance = 50;

int main()
{
    // read image
    Mat src, src_gray;
    src = imread("chessboard.png");
    if (src.empty())
        return -1;

    cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY);
    // Shi-Tomasi corner detect
    vector<Point2f> corners;
    goodFeaturesToTrack(src_gray, corners, kMaxCorners, kQualityLevel, kMinDistance);
 
    // draw and show detected corners
    for (size_t i = 0; i < corners.size(); i++)
    {
        circle(src, corners[i], 3, CV_RGB(0, 255, 0));
    }
    imshow("Shi-Tomasi corner", src);

    TermCriteria criteria = TermCriteria(TermCriteria::EPS + TermCriteria::COUNT, 40, 0.001);
    // find corner positions in subpixel
    cornerSubPix(src_gray, corners, Size(5, 5), Size(-1, -1), criteria);    
    for (size_t i = 0; i < corners.size(); i++)
    {
        cout << "Corner[" << i << "]: (" << corners[i].x << "," << corners[i].y << ")" << endl;
    }
    waitKey();
}  

   输入棋盘格5行8列,对应7x4个角点,图像的分辨率为 600*387,则所有角点的理论坐标如下表:

              

 

    角点的图象坐标值输出如下:

   

  

参考

  《图像局部不变性特征与描述》 第 3 章

    Harris 角点

    http://www.cse.psu.edu/~rtc12/CSE486/

    OpenCV Tutorials / feature2d module / Harris corner detector

    OpenCV-Python Tutorials / Feature Detection and Description / Shi-Tomasi Corner Detector & Good Features to Track

    OpenCV Tutorials / feature2d module / Detecting corners location in subpixels

 

posted on 2021-03-11 22:16  飞鸢逐浪  阅读(2170)  评论(0编辑  收藏  举报