RMQ LAC 入门

 

RMQ

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。——百度百科

举个例子：在1 0 4 99 8 5这一串数中求第2个数到第5个数的最小值。

有什么办法？

最简单的莫过于循环一次，时间为O(N).但如果有许多个询问呢？

这时就要用到ST算法了。利用动规预处理出每一段的最值，对于每个询问，只要O(1)的时间便能得出答案。

动规如下：f[i][j]表示从第i个位置开始的2^j个数中的最小值。转移方程如下：

f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+2^(j-1)][j-1])

这样，对于每个查询x,y(x<y)（在第x个位置到第y个位置的最值），答案就是

min(f[x][j],f[y-2^(j)+1][j])(其中j是log2(y-x+1)) 
∵[x,x+2^j]与[y-2^(j)]都是[x,y]的子区间且[x,x+2^j]U[y-2^(j)]=[x,y]。

至此RMQ问题就解决了，时间复杂度为O(nlogn)+O(1)*q(其中q为询问数量)

当然还有其他的方法这里就不讨论了

LCA

最近公共祖先(Least Common Ancestors)LCA简介：对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。另一种理解方式是把T理解为一个无向无环图，而LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最小的点。——百度百科

求LCA的其中一种算法便是转换成RMQ，利用ST算法求解。具体做法如下： 将这棵树用深度优先遍历，每次遍历一个点（包括回溯）都添加进数组里面。找到所询问的点第一次在其出现的位置，两个位置所夹的点中深度最小的即为所求。

如图求3与6的LCA。首先利用深度优先遍历得到一个数列：1，2，3，2，4，5，6

找到3第一次出现以及6第一次出现的位置。所夹数列即为3，2，4，5，6。其中深度最小的点就是他们的LCA，也就是2.

 

 

 

http://www.cnblogs.com/lazycal/archive/2012/08/11/2633486.html