二分的妙用

数列分段 Section II

链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1182

题目描述

对于给定的一个长度为 $N$ 的正整数数列 $A_{1\sim N}$，现要将其分成 $M$（$M\le N$）段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

关于最大值最小：

例如一数列 $42451$ 要分成 $3$ 段。

将其如下分段：

$$[42][45][1]$$

第一段和为 $6$，第 $2$ 段和为 $9$，第 $3$ 段和为 $1$，和最大值为 $9$。

将其如下分段：

$$[4][24][51]$$

第一段和为 $4$，第 $2$ 段和为 $6$，第 $3$ 段和为 $6$，和最大值为 $6$。

并且无论如何分段，最大值不会小于 $6$。

所以可以得到要将数列 $42451$ 要分成 $3$ 段，每段和的最大值最小为 $6$。

输入格式

第 $1$ 行包含两个正整数 $N,M$。

第 $2$ 行包含 $N$ 个空格隔开的非负整数 $A_i$，含义如题目所述。

输出格式

一个正整数，即每段和最大值最小为多少。

样例 #1

样例输入 #1

5 3
4 2 4 5 1

样例输出 #1

6

提示

对于 $20\mathrm{\%}$ 的数据，$N\le 10$。

对于 $40\mathrm{\%}$ 的数据，$N\le 1000$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le N\le {10}^5$，$M\le N$，$A_i<{10}^8$， 答案不超过 ${10}^9$。

---

解答

• 用二分答案的思想：这个其实我想到了，但是没法做，当时没思路
• 忽略了用段数来反映区间和
• 也就是当前最大值，判断最多构成多少段，如果当前段数比预期小，说明我们选的最大值太大了，如果段数过大，说明我们选的最大值过大了
• 注意左端点取值，从一个数的最大值开始，也就是将它划分为一段，不能从 0 开始，会被 hack

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];
int n, m;

bool check(int x)
{
	int cnt = 0;
	LL sum = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (sum + a[i] <= x) sum += a[i];
		else sum = a[i], cnt++;
	}

    // 注意这个判断
    // 这里取小于，不可取等，因为段数等，可能还有更好的数，过小的，说明数过大
    // 但是这里注意不用减减，因为二分只需保证一个加加或减减，否则用以 TLE
    // 为啥不用考虑，因为下面 else 将这里也考虑了，
    // 就算段数等，也让它加加，找到段数等最大的数，这里 r 不变就体现处作用了
	if (cnt < m) return true;
	else return false;
}

int main()
{
	cin >> n >> m;

	int l = 0, r = 1e9;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		scanf("%d", &a[i]);
		l = max(l, a[i]);
	}

	while (l < r)
	{
		int mid = l + r >> 1;
		if (check(mid)) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}

	cout << l;
	return 0;
}

说明BUG

input
5 4
1 2 3 4 5

output
5

• 上述是一个被 hack 的数据，也就是为啥不从 0 或 1 开始，左端点
• 当时想着虽然现在小，但是不会逐渐增加吗
• 实际有问题，增加也就是走了 else ，但是存在不走
• 也就是前面足够小，让段数减的慢，恰好让后面每个数都成为了单独的一段，而这单独的一段又比 mid 大
• 这就是问题所在了，会让输出比实际输出小