线性dp--最长上升子序列变形

A Twisty Movement

洛谷链接：https://www.luogu.com.cn/problem/CF933A

codeforce链接：https://codeforces.com/problemset/problem/933/A

题面翻译

给定一个序列 A，你可以翻转其中的一个区间内的数，求翻转后的序列的最长不下降子序列的长度。（$|A|\le 2000,1\le a_i\le 2$ ）

感谢@touristWang 提供的翻译

题目描述

A dragon symbolizes wisdom, power and wealth. On Lunar New Year's Day, people model a dragon with bamboo strips and clothes, raise them with rods, and hold the rods high and low to resemble a flying dragon.

A performer holding the rod low is represented by a $1$ , while one holding it high is represented by a $2$ . Thus, the line of performers can be represented by a sequence $a_1,a_2,...,a_n$ .

Little Tommy is among them. He would like to choose an interval $[l,r]$ ( $1<=l<=r<=n$ ), then reverse $a_l,a_{l+1},...,a_r$ so that the length of the longest non-decreasing subsequence of the new sequence is maximum.

A non-decreasing subsequence is a sequence of indices $p_1,p_2,...,p_k$ , such that $p_1<p_2<...<p_k$ and $a_{p1}<=a_{p2}<=...<=a_{pk}$ . The length of the subsequence is $k$ .

输入格式

The first line contains an integer $n$ $(1<=n<=2000)$ , denoting the length of the original sequence.

The second line contains $n$ space-separated integers, describing the original sequence $a_1,a_2,...,a_n$ $(1<=a_i<=2,i=1,2,...,n)$ .

输出格式

Print a single integer, which means the maximum possible length of the longest non-decreasing subsequence of the new sequence.

样例 #1

样例输入 #1

4
1 2 1 2

样例输出 #1

4

样例 #2

样例输入 #2

10
1 1 2 2 2 1 1 2 2 1

样例输出 #2

9

提示

In the first example, after reversing $[2,3]$ , the array will become $[1,1,2,2]$ , where the length of the longest non-decreasing subsequence is $4$ .

In the second example, after reversing $[3,7]$ , the array will become $[1,1,1,1,2,2,2,2,2,1]$ , where the length of the longest non-decreasing subsequence is $9$ .

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注意：解析扒的这位佬的 https://www.luogu.com.cn/article/fv3mhsdw

分析

考虑 DP。

由于序列只有两个数，那么最终的非降子序列一定是 $\{1,1,\dots 1,2,2,\dots ,2\}$ 这样的形式。可以这样表示：$[1][2]$，表示分别由 $1$ 和 $2$ 组成的序列。其中这两个部分可能为空。

如果翻转后得到 $[1][2]$，那么翻转前的子序列应该是 $[1][2][1][2]$ 的形式，使得交换中间两个子序列后变成非降子序列。同样的，这些序列也可以为空。

因为最多交换一次，所以题目变成了找原序列的最长子序列，且形式为 $[1][2][1][2]$。

一共有 $4$ 部分，分别将其标号为 $0\sim 3$。设状态 $f_{i,j}(j\in [0,3])$ 表示序列前 $i$ 个数中，选择前 $j$ 个序列的最长长度。接下来考虑转移。

• $f_{i,0}$，前 $0$ 个部分：

  如果第 $i$ 个数为 $1$，那么可以把这个数和以前的拼起来。答案为 $f_{i-1,0}+1$。

  否则，如果第 $i$ 个数为 $2$，那么这个数不可以作为第 $0$ 部分。答案为 $f_{i-1,0}$。

  因此 $f_{i,0}=\{\begin{array}{cc}{f}_{i-1,0}+1& amp;(a_i=1)\\ f_{i-1,0}& amp;(a_i=2)\end{array}$。

• $f_{i,1}$，前 $1$ 个部分。

  如果第 $1$ 个部分为空，那么答案为 $f_{i,0}$。以下都是不空的情况。

  如果第 $i$ 个数为 $2$，那么可以把这个数和以前的拼起来。答案为 $f_{i-1,1}+1$。

  否则，如果第 $i$ 个数为 $1$，那么这个数不可以作为第 $1$ 部分。答案为 $f_{i-1,1}$。

  因此 $f_{i,1}=\{\begin{array}{cc}max(f_{i,0},f_{i-1,1}+1)& amp;(a_i=2)\\ max(f_{i,0},f_{i-1,1})& amp;(a_i=1)\end{array}$。

• $f_{i,2}$，前 $2$ 个部分。

  如果第 $2$ 个部分为空，那么答案为 $f_{i,1}$。以下都是不空的情况。

  如果第 $i$ 个数为 $1$，那么可以把这个数和以前的拼起来。答案为 $f_{i-1,2}+1$。

  否则，如果第 $i$ 个数为 $2$，那么这个数不可以作为第 $2$ 部分。答案为 $f_{i-1,2}$。

  因此 $f_{i,2}=\{\begin{array}{cc}max(f_{i,1},f_{i-1,2}+1)& amp;(a_i=1)\\ max(f_{i,1},f_{i-1,2})& amp;(a_i=2)\end{array}$。

• $f_{i,3}$，前 $3$ 个部分。

  如果第 $3$ 个部分为空，那么答案为 $f_{i,2}$。以下都是不空的情况。

  如果第 $i$ 个数为 $2$，那么可以把这个数和以前的拼起来。答案为 $f_{i-1,3}+1$。

  否则，如果第 $i$ 个数为 $1$，那么这个数不可以作为第 $3$ 部分。答案为 $f_{i-1,3}$。

  因此 $f_{i,3}=\{\begin{array}{cc}max(f_{i,2},f_{i-1,3}+1)& amp;(a_i=2)\\ max(f_{i,2},f_{i-1,3})& amp;(a_i=1)\end{array}$。

最后答案为 $f_{n,3}$。

AC 代码：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2010;
int a[N];
int f[N][4];
int n;

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i]; 

	for (int i = 1; i <= n; i++) 
	{
		f[i][0] = f[i - 1][0] + (a[i] == 1);
		f[i][1] = max(f[i][0], f[i - 1][1] + (a[i] == 2));
		f[i][2] = max(f[i][1], f[i - 1][2] + (a[i] == 1));
		f[i][3] = max(f[i][2], f[i - 1][3] + (a[i] == 2));
	}
	cout << f[n][3]; 
	return 0;
}