贡献法和染色的妙用

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题目描述

小红拿到了一个 n ∗ n 的方格矩阵。她准备划分成若干个大小为 3 的 'L' 型连通块和若干个大小为 4 的 2 * 2 连通块。已知每个 'L' 型连通块可以获得 x 分，每个 2 * 2 的连通块可以获得 y 分。小红想知道自己最多可以得到多少分？

输入描述:

三个正整数 n, x, y 用空格隔开。
1 ≤ n, x, y ≤ 1e6
保证 n 是偶数。

输出描述:

小红最大的得分。

示例1

输入

2 4 3

输出

4

说明

可以划分一个 'L' 型连通块。

示例2

输入

4 4 5

输出

21

说明

如下图，可以划分出 4 个 'L' 型连通块和一个 2 * 2 的连通块，这样的得分是最高的。

---

解答

• 四个格子价值 y，三个格子的 L 型价值 x，如果 y/4 >= x/3，铁定用 y 了，而且还能铺满，否则，考虑 r = n mod 3 的分类讨论：
• 为啥考虑 mod 3，因为两个 L 构成一个方形，能铺满，所以先把前面铺满的地方用 L 铺满，前面价值一定比四个格子的大
• 考虑后面无法用 L 铺满情况：
• r 为 0，显然可以铺满；
• r 为 2，那么可以尽量铺满，先横着放（2x3 的两个 L ）直到剩下两列，在这两列再竖着放，直到剩下一个 2x2 的，看这个 2x2 的铺 L 还是四个格子价值大
• r 为 1，比较复杂，可以先横着 L，剩下 4 列，再双列竖着 L，直到剩下 4x4 的空位，看 5 个 L 和 4 个方块 + 1 个 L 谁大
• 这里为啥不是由每个格子贡献决定，因为前面都是铺满状态，我们通过比较每个格子贡献，那么贡献大的一定最优，但是这里最后无法铺满情况，虽然可能单个格子 L 大，但是方块量大，可能会弥补这个差距，成为最优

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;

int main() 
{
    LL n, x, y;
    cin >> n >> x >> y;

    if (x * 4 > y * 3)
    {
        if (n % 3 == 0)
            cout << (n * n / 3) * x << endl;
        else if (n % 3 == 1) 
            cout << ((n * n - 16) / 3) * x + max(x * 5, x * 4 + y) << endl;
        else 
            cout << ((n * n - 4) / 3) * x + max(x, y) << endl;
    }
    else 
        cout << (n * n / 4) * y << endl;
    
    return 0;
}