二分+单调队列思想 1

[AHOI2018初中组] 分组（洛谷P4447）

https://www.luogu.com.cn/problem/P4447

题目描述

小可可的学校信息组总共有 $n$ 个队员，每个人都有一个实力值 $a_i$。现在，一年一度的编程大赛就要到了，小可可的学校获得了若干个参赛名额，教练决定把学校信息组的 $n$ 个队员分成若干个小组去参加这场比赛。

但是每个队员都不会愿意与实力跟自己过于悬殊的队员组队，于是要求分成的每个小组的队员实力值连续，同时，一个队不需要两个实力相同的选手。举个例子：$[1,2,3,4,5]$ 是合法的分组方案，因为实力值连续；$[1,2,3,5]$ 不是合法的分组方案，因为实力值不连续；$[0,1,1,2]$ 同样不是合法的分组方案，因为出现了两个实力值为 $1$ 的选手。

如果有小组内人数太少，就会因为时间不够而无法获得高分，于是小可可想让你给出一个合法的分组方案，满足所有人都恰好分到一个小组，使得人数最少的组人数最多，输出人数最少的组人数的最大值。

注意：实力值可能是负数，分组的数量没有限制。

输入格式

输入有两行：

第一行一个正整数 $n$，表示队员数量。
第二行有 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数 $a_i$ 表示第 $i$ 个队员的实力。

输出格式

输出一行，包括一个正整数，表示人数最少的组的人数最大值。

样例 #1

样例输入 #1

7
4 5 2 3 -4 -3 -5

样例输出 #1

3

提示

【样例解释】
分为 $2$ 组，一组的队员实力值是 $\{4,5,2,3\}$，一组是 $\{-4,-3,-5\}$，其中最小的组人数为 $3$，可以发现没有比 $3$ 更优的分法了。

【数据范围】

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据满足：$1\le n\le 100000$，$|a_i|\le {10}^9$。

本题共 $10$ 个测试点，编号为 $1\sim 10$，每个测试点额外保证如下：

测试点编号	数据限制
$1\sim 2$	$n\le 6,1\le a_i\le 100$
$3\sim 4$	$n\le 1000,1\le a_i\le {10}^5$ 且 $a_i$ 互不相同
$5\sim 6$	$n\le 100000,a_i$ 互不相同
$7\sim 8$	$n\le 100000,1\le a_i\le {10}^5$
$9\sim 10$	$n\le 100000,-{10}^9\le a_i\le {10}^9$

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解答

• 利用二分及其单调队列的优化思想
• 将所有数进行排序，然后枚举每个数
• 看当前数加到哪个集合里，集合定义为q[i]，存的是当前集合中数的最大值
• 二分找到第一个小于a[i]的数，如果等于a[i] - 1，那么将这个数加到集合里，并且这个集合长度++
• 如果不等于，新创个集合，这个数加到这里面，长度赋值为1，最大值为当前数
• 我还犹豫后面比他小的数也想加到这个集合呢，显然不可能，这就是先把其排序的奥妙，当前数不能加到前面集合，就只能创个集合

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], siz[N], q[N];
int n;

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);

	sort(a + 1, a + n + 1);
	
	q[0] = 1e9;
	int len = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) 
	{
		int l = 0, r = len;
		while (l < r) 
		{
			int mid = l + r + 1 >> 1;
			if (q[mid] <= a[i]) l = mid;
			else r = mid - 1;
		}

		if (q[l] != a[i]) siz[++len] = 1, q[len] = a[i] + 1;
		else siz[l]++, q[l]++;
	}

	int ans = 1e9;
	for (int i = 1; i <= len; i++) 
		ans = min(ans, siz[i]);

	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

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