概率论

概率

（1）对立事件和互斥事件

互斥事件是指两个事件不能同时发生，对立事件是指事件 A, B 仅有一个发生。

• A 交 B 等于空 ------》互斥
• A 交 B 等于空且 A 并 B 等于全集 -------》对立

（2）P (A 并 B)=P (A)+P (B) ----》A 与 B 互斥，互不相容

• P (A 并 B)=P (A)+P (B)-P (AB) ---》都成立
• P (A 并 B 并 C)=P (A)+P (B)+P (C) - P (AB)-P (BC)-P (AC)+P (ABC)

（3）P (AB)=0--->P (ABC)=0；子集的关系

（4）P (A-B)=P (A)-P (AB)=P (A (1-B))

（5）P ( A|B )=P (AB) / P (B)

（6）P (AB)=P (A|B) P (B)=P (B|A) P (A)

分布

求某个分布函数或概率密度函数的参数的值

• F (正无穷)=1，F (负无穷)=0；
• 连续，右连续，当前点的导数=当前点的值，左连续=右连续；
• 注意带点的时候，不要犯错误：还没积分就带数进去算，就是 f (x)积分的时候，是要积分后的函数带端点，不要还没积分就带。
• 积分完成后的常数 C 用性质解决，就是第一点和第二点

二项分布

X~b (n, p) 或者 X~B（n.p）

概率密度函数：

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$$

• 期望：$E(x)=np$
• 方差：$D(x)=np(1-p)$

性质：

• 当 (n+1) * p 不为整数时，二项概率 P{X=k} 在 k=【(n+1) p】时达到最大值
• 当 (n+1) * p 为整数的时候，二项概率 P{X=k} 在 k=(n+1) p 和 (n+1)p - 1 时达到最大值。
• 注：【X】是指不超过 X 的最大整数

泊松分布

X~P ($\lambda$) 或者 X~$\pi$ ($\lambda$)

$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$$

$$E(X)=\lambda$$

$$\text{D}(X)=\lambda$$

均匀分布

X~U (a，b)

概率密度函数：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& \text{如果}a\le x\le b\\ 0,& \text{其他情况}\end{array}$$

• 期望：$E(x)=\frac{a+b}{2}$
• 方差：$D(x)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

指数分布

X~e ($\lambda$)

概率密度函数：

$$f(x;\lambda )=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& \text{如果}x\ge 0\\ 0,& \text{如果}x<0\end{array}$$

• 期望： $E(X)=\frac{1}{\lambda }$
• 方差： $D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$

正态分布

X ~N（$\mu$，$\sigma$）

概率密度函数：

$$f(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

• 期望：$E(X)=\mu$
• 方差：$D(X)={\sigma }^2$

如果 X1​∼N(μ₁​,σ₁²​) 和 X2​∼N(μ₂​,σ₂²​) 是两个独立的正态分布随机变量，那么它们的和 X=X1​+X2​ 仍然服从正态分布：

$$X\sim \mathcal{N}({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$$

标准正态分布 ：

概率密度函数：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

• 期望：0
• 方差：1

对于一般正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，标准正态分布变量 $Z$ 的计算方式为：

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$

其中，$Z$ 是标准正态分布的随机变量，$X$ 是一般正态分布的随机变量，$\mu$ 是均值，$\sigma$ 是标准差。

独立

A 与 B 独立

• P (AB)=P (A) P (B)
• P (A|B)=P (A)
• B 反与 A，B 反 A 反，B 和 A 反 这些都独立

F (x, y)=F_x(x) F_y(y)---->x 与 y 独立

f (x, y)=f_x(x) f_y(y)----->x 与 y 独立

随机变量 X 与 Y 相互独立，则任意函数 g₁ (x) 和 g₂ (y)，它们两个都独立

p (X=x_i, Y=y_j) = p{X = x_i} P{Y = y_j}----->X 与 Y 相互独立

二维离散型，判断是否独立，直接看矩阵是否成比例，不成比例，不独立，成比例，独立

几种易错的：

• 若 X 与 Y 独立，GX，GY 仍然独立，G 为任意数
• 若 X 与 Y 独立，X²，Y² 仍然独立
• 若 X1，X2，X3，X4 独立，X1 + X2 与 X3 + X4 独立
• 若 X1，X2，X3，X4 独立，X1 + X2 与 X2 + X3 + X4 不独立----》都有 X2，会受到影响，不独立

二维分布

性质：

• f (x, y)在 (x, y)处连续，则 F (x', y')=f (x, y)；

0<=X<=Y<=1 积分区域如何画：

• 0<=X
• X<=Y
• Y<=1

注意：

• 求 P{X+Y<=1}，注意 X+Y<=1 与概率密度函数有效部分要取交集，积分的时候忘了会出错
• 求 f (x)如 f_x(x)，注意无效段也要带进去，最终答案，因为 0 积分为 0，注意这个不要忘了

数学期望

性质：

• E (C)=C;
• E (CX)=CE (X)；
• E (x1 + x2) = E(x1) + E(x2);
• E (x1 x2) = E(x1) E(x2)---> x1 与 x2 相互独立

公式：

离散型：

$$E(X)=\sum _i{x}_i\cdot P(X=x_i)$$

连续型：

$$E(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f(x)dx$$

X 为随机变量，求 g (x)的数学期望---------二维同理可得，二重积分罢了

$$E[g(X)]=\sum _{i}g(x_i)\cdot P(X=x_i)$$

$$E[g(X)]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x)\cdot f(x)dx$$

方差

性质：

• D (C)=0;
• D (Cx)=C² D(x);
• D (x1 + x2) = D (x1) + D (x2) ---> x1 和 x2 相互独立
• D (x1 - x2) = D (x1) + D (x2) ---> x1 和 x2 相互独立

公式：

离散型：

$$\text{D}(X)=\sum _i(x_i-E(X){)}^2\cdot P(X=x_i)$$

连续型：

$$\text{D}(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x-E(X){)}^2\cdot f(x)dx$$

$$\text{D}(X)=E((X-E(X){)}^2)$$

$$\text{D}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

协方差

公式 1：

$$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$

公式 2：

$$\text{Cov}(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$$

协方差的性质：

1. 对称性： $$\text{Cov}(X,Y)=\text{Cov}(Y,X)$$
2. 线性性： $$\text{Cov}(aX+b,Y)=a\cdot \text{Cov}(X,Y)$$
3. 加法性： $$\text{Cov}(X+Z,Y)=\text{Cov}(X,Y)+\text{Cov}(Z,Y)$$
4. 乘法性： $$\text{Cov}(cX,dY)=c\cdot d\cdot \text{Cov}(X,Y)$$
5. 和方差关系:

$$\text{Cov}(X,X)=\text{D}(X)$$

$$\text{D}(X\pm Y)=\text{D}(X)+\text{D}(Y)\pm 2\cdot \text{Cov}(X,Y)$$

相关系数：

$${\rho }_{X,Y}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{D}(X)\cdot \text{D}(Y)}}$$

独立---->不相关，但是不相关不能推出独立，因为 $\rho$ =0 只能说明之间没有线性关系，并不能说明没有其他函数关系。

相互独立，则 Cov (X, Y)=0

$\rho$ =0，则不相关

公式

切比雪夫不等式

• P (|X - E (X)| ≥ kσ) ≤ 1/k²
• P (|X - E (X)| < kσ) ≥ 1 - 1/k²

假设随机变量 X 数学期望为 E (X)= $\mu$，方差 D (X)= ${\sigma }^2$，则对于任意给定的 $ϵ$，都有：

$$P\{|X-\mu |\ge ϵ\}\le \frac{{\sigma }^2}{{ϵ}^2}$$

$$P\{|X-\mu |<ϵ\}\ge 1-\frac{{\sigma }^2}{{ϵ}^2}$$

中心极限定理

假设 X1​,X2​,…,Xn​ 是独立同分布的随机变量，其数学期望为 μ，方差为 σ²，那么当 n 足够大时，它们的样本平均 X 的分布近似服从正态分布：

$$\overline{X}\approx N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$$

三个检验

三大分布

卡方分布

单正态总体的抽样分布

---

以上内容均为个人整理，请勿随意搬运。

版权独有，侵权必究

---