概率论

概率

（1）对立事件和互斥事件

互斥事件是指两个事件不能同时发生，对立事件是指事件 A, B 仅有一个发生。

• A 交 B 等于空 ------》互斥
• A 交 B 等于空且 A 并 B 等于全集 -------》对立

（2）P (A 并 B)=P (A)+P (B) ----》A 与 B 互斥，互不相容

• P (A 并 B)=P (A)+P (B)-P (AB) ---》都成立
• P (A 并 B 并 C)=P (A)+P (B)+P (C) - P (AB)-P (BC)-P (AC)+P (ABC)

（3）P (AB)=0--->P (ABC)=0；子集的关系

（4）P (A-B)=P (A)-P (AB)=P (A (1-B))

（5）P ( A|B )=P (AB) / P (B)

（6）P (AB)=P (A|B) P (B)=P (B|A) P (A)

分布

求某个分布函数或概率密度函数的参数的值

• F (正无穷)=1，F (负无穷)=0；
• 连续，右连续，当前点的导数=当前点的值，左连续=右连续；
• 注意带点的时候，不要犯错误：还没积分就带数进去算，就是 f (x)积分的时候，是要积分后的函数带端点，不要还没积分就带。
• 积分完成后的常数 C 用性质解决，就是第一点和第二点

二项分布

X~b (n, p) 或者 X~B（n.p）

概率密度函数：

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

• 期望：\(E (x)=np\)
• 方差：\(D (x)=np (1-p)\)

性质：

• 当 (n+1) * p 不为整数时，二项概率 P{X=k} 在 k=【(n+1) p】时达到最大值
• 当 (n+1) * p 为整数的时候，二项概率 P{X=k} 在 k=(n+1) p 和 (n+1)p - 1 时达到最大值。
• 注：【X】是指不超过 X 的最大整数

泊松分布

X~P (\(\lambda\)) 或者 X~\(\pi\) (\(\lambda\))

\[P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

\[E(X) = \lambda \]

\[\text{D}(X) = \lambda \]

均匀分布

X~U (a，b)

概率密度函数：

\[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & \text{如果} \ a \leq x \leq b \\ 0, & \text{其他情况} \end{cases} \]

• 期望：\(E (x)=\frac{a + b}{2}\)
• 方差：\(D (x)=\frac{(b - a)^2}{12}\)

指数分布

X~e (\(\lambda\))

概率密度函数：

\[f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & \text{如果} \ x \geq 0 \\ 0, & \text{如果} \ x < 0 \end{cases} \]

• 期望： \(E(X) = \frac{1}{\lambda}\)
• 方差： \(D(X) = \frac{1}{\lambda^2}\)

正态分布

X ~N（\(\mu\)，\(\sigma\)）

概率密度函数：

\[f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{{\sigma \sqrt{2\pi}}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]

• 期望：\(E(X) = \mu\)
• 方差：\(D(X) = \sigma^2\)

如果 X1​∼N(μ₁​,σ₁²​) 和 X2​∼N(μ₂​,σ₂²​) 是两个独立的正态分布随机变量，那么它们的和 X=X1​+X2​ 仍然服从正态分布：

\[X \sim \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2) \]

标准正态分布 ：

概率密度函数：

\[f(x) = \frac{1}{{\sqrt{2\pi}}} e^{-\frac{x^2}{2}} \]

• 期望：0
• 方差：1

对于一般正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\)，标准正态分布变量 \(Z\) 的计算方式为：

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

其中，\(Z\) 是标准正态分布的随机变量，\(X\) 是一般正态分布的随机变量，\(\mu\) 是均值，\(\sigma\) 是标准差。

独立

A 与 B 独立

• P (AB)=P (A) P (B)
• P (A|B)=P (A)
• B 反与 A，B 反 A 反，B 和 A 反 这些都独立

F (x, y)=F_x(x) F_y(y)---->x 与 y 独立

f (x, y)=f_x(x) f_y(y)----->x 与 y 独立

随机变量 X 与 Y 相互独立，则任意函数 g₁ (x) 和 g₂ (y)，它们两个都独立

p (X=x_i, Y=y_j) = p{X = x_i} P{Y = y_j}----->X 与 Y 相互独立

二维离散型，判断是否独立，直接看矩阵是否成比例，不成比例，不独立，成比例，独立

几种易错的：

• 若 X 与 Y 独立，GX，GY 仍然独立，G 为任意数
• 若 X 与 Y 独立，X²，Y² 仍然独立
• 若 X1，X2，X3，X4 独立，X1 + X2 与 X3 + X4 独立
• 若 X1，X2，X3，X4 独立，X1 + X2 与 X2 + X3 + X4 不独立----》都有 X2，会受到影响，不独立

二维分布

性质：

• f (x, y)在 (x, y)处连续，则 F (x', y')=f (x, y)；

0<=X<=Y<=1 积分区域如何画：

• 0<=X
• X<=Y
• Y<=1

注意：

• 求 P{X+Y<=1}，注意 X+Y<=1 与概率密度函数有效部分要取交集，积分的时候忘了会出错
• 求 f (x)如 f_x(x)，注意无效段也要带进去，最终答案，因为 0 积分为 0，注意这个不要忘了

数学期望

性质：

• E (C)=C;
• E (CX)=CE (X)；
• E (x1 + x2) = E(x1) + E(x2);
• E (x1 x2) = E(x1) E(x2)---> x1 与 x2 相互独立

公式：

离散型：

\[E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i) \]

连续型：

\[E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \,dx \]

X 为随机变量，求 g (x)的数学期望---------二维同理可得，二重积分罢了

\[E[g(X)] = \sum_{i} g(x_i) \cdot P(X=x_i) \]

\[E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) \cdot f(x) \,dx \]

方差

性质：

• D (C)=0;
• D (Cx)=C² D(x);
• D (x1 + x2) = D (x1) + D (x2) ---> x1 和 x2 相互独立
• D (x1 - x2) = D (x1) + D (x2) ---> x1 和 x2 相互独立

公式：

离散型：

\[\text{D}(X) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 \cdot P(X=x_i) \]

连续型：

\[\text{D}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \,dx \]

\[\text{D}(X) = E((X - E(X))^2) \]

\[\text{D}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \]

协方差

公式 1：

\[\text{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \]

公式 2：

\[\text{Cov}(X, Y) = E\left[ (X - E(X))(Y - E(Y)) \right] \]

协方差的性质：

1. 对称性： $$ \text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X) $$
2. 线性性： $$ \text{Cov}(aX + b, Y) = a \cdot \text{Cov}(X, Y) $$
3. 加法性： $$ \text{Cov}(X + Z, Y) = \text{Cov}(X, Y) + \text{Cov}(Z, Y) $$
4. 乘法性： $$ \text{Cov}(cX, dY) = c \cdot d \cdot \text{Cov}(X, Y) $$
5. 和方差关系:

\[\text{Cov}(X, X) = \text{D}(X) \]

\[\text{D}(X \pm Y) = \text{D}(X) + \text{D}(Y) \pm 2 \cdot \text{Cov}(X, Y) \]

相关系数：

\[\rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\text{D}(X) \cdot \text{D}(Y)}} \]

独立---->不相关，但是不相关不能推出独立，因为 \(\rho\) =0 只能说明之间没有线性关系，并不能说明没有其他函数关系。

相互独立，则 Cov (X, Y)=0

\(\rho\) =0，则不相关

公式

切比雪夫不等式

• P (|X - E (X)| ≥ kσ) ≤ 1/k²
• P (|X - E (X)| < kσ) ≥ 1 - 1/k²

假设随机变量 X 数学期望为 E (X)= \(\mu\)，方差 D (X)= \(\sigma^2\)，则对于任意给定的 \(\epsilon\)，都有：

\[P\{|X - \mu| \geq \epsilon\} \leq \frac{\sigma^2}{{\epsilon}^2} \]

\[P\{|X - \mu| < \epsilon\} \geq 1 - \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} \]

中心极限定理

假设 X1​,X2​,…,Xn​ 是独立同分布的随机变量，其数学期望为 μ，方差为 σ²，那么当 n 足够大时，它们的样本平均 X 的分布近似服从正态分布：

\[\bar{X} \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \]

三个检验

三大分布

卡方分布

单正态总体的抽样分布

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