笛卡尔树
附近都是喜欢花自己时间耗别人时间和心态，不想宽容别人占用自己时间的人。这些人全是傻逼，所以我开始写这个了。
这里先喷一下。
傻逼啊！我造题，我一句话没说，草泥马的一直叫，叫的还贼难听。日了狗了我真的听够了，就好像你他妈是我上司，我就是下属，就该造题。傻逼才会这么想吧！日马口气极为臭，请搞清楚是我们在无偿做事！至少我不怕说损坏了什么个人名誉甚至是集体名誉。这个集体几乎没帮过我什么，除了挂题，不过那都是小事，我维护 oj 的时间比这个多多了。你们天天都是有事有事，反而是我天天给别人讲题！最弱的给别人讲题，你想想！！！搞明白一点吧！！！
我不管了，这个集训我已经几乎受够了。出 3 次外卖事故的是我，造题最后题没了的也是我，比大多数人做出来连考题少的人也是我！！！我自己揽的活我承认，但是你就别用这种傻逼口气叫，讲题也只讲个状态。就好像什么理都在你们那边。
反正我不想收场了，这个事情不值得我素质高。
好了该补这个知识点了。
笛卡尔树是一个结构描述二元组 \((a_i,b_i)\) 构成的序列。使得对于 \(a_i\)，这棵树是用二叉搜索树来描述的；且对于 \(b_i\)，这棵树是按照堆来描述的。
常用的就是对于一个排列去建出大根笛卡尔树或者小根笛卡尔树。此时二元组就是 \((i,a_i)\)。
我们容易得出笛卡尔树的 \(O(n\log n)\) 建法，就是直接建一个 ST 表，然后递归处理。
但是实际上我们有简单的 \(O(n)\) 建法。以下是以建小根笛卡尔树为例。
考虑顺序建树，每次加入一个数 \(a_i\)，记录 \(i-1\) 位置的数目前的位置。因为下一个数需要满足二叉搜索树的限制，所以我们找到到根链上第一个小于 \(a_i\) 的数，我们就一定把这个数放到它的右子树上。如果这个右子树已经存在，那就放到目前加入的点的左子树上。
显然发现这样加入那么记录的位置到根链就全部是右儿子。需要特判根都比目前的数大。
显然暴力跳是对的，因为相当于 DFS 了一遍整个树。代码是好写的。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e7+5;
int n,a[M];
unsigned long long ans1,ans2;
int fa[M],L[M],R[M],rt,now;
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
now=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
while(fa[now]&&a[i]<a[fa[now]])now=fa[now];
if(a[now]<a[i]){
fa[i]=now;R[now]=i;
}else{
fa[i]=fa[now],R[fa[now]]=i,fa[now]=i;
L[i]=now;
}
now=i;
}
for(int i=1;i<=n;i++)ans1^=1ull*i*(L[i]+1),ans2^=1ull*i*(R[i]+1);
cout<<ans1<<" "<<ans2<<"\n";
return 0;
}
当然有些例题。
P1377 [TJOI2011] 树的序
众所周知，二叉查找树的形态和键值的插入顺序密切相关。准确的讲：
- 空树中加入一个键值 \(k\)，则变为只有一个结点的二叉查找树，此结点的键值即为 \(k\)。
- 在非空树中插入一个键值 \(k\)，若 \(k\) 小于其根的键值，则在其左子树中插入 \(k\)，否则在其右子树中插入 \(k\)。
我们将一棵二叉查找树的键值插入序列称为树的生成序列，现给出一个生成序列，求与其生成同样二叉查找树的所有生成序列中字典序最小的那个，其中，字典序关系是指对两个长度同为 \(n\) 的生成序列，先比较第一个插入键值，再比较第二个，依此类推。
\(1\leq n\leq 10^5\)。
观察它上面定义的二叉查找树，发现生成序列的置换的小根笛卡尔树即为它生成的树。
要求最小的生成序列，相当于我们贪心的去想每次第一个数最小。那么中左右遍历一遍二叉树输出下标即可。
P9607 [CERC2019] Be Geeks!
音乐乐队 Be Geeks! 的名字并非偶然，因为所有成员都是真正的数学怪才。除此之外，他们喜欢研究数列的各种性质。下面是他们感兴趣的一个例子：
- 设 \(A\) 是一个非空正整数序列，\(A=(a_1, a_2, \dots, a_N)\)。
- \(G(i, j)=\gcd (a_i, a_{i+1}, \dots, a_j)\)，其中 \(1\le i\le j\le N\)。
- \(M(i, j)=\max (a_i, a_{i+1}, \dots, a_j)\)，其中 \(1\le i\le j\le N\)。
- \(P(i, j)=G(i, j)\times M(i, j)\)，其中 \(1\le i\le j\le N\)。
- \(F(A)=\sum P(i, j)[1\le i\le j\le N]\)。
给出一个序列 \(A\)，你需要求出 \(F(A)\bmod 1000000007\) 的值。
\(1\leq N\leq 2\times 10^5\)。
笛卡尔树是可以把树论的一些东西套上去的。
笛卡尔树分治。每次考虑跨过 \(\max\) 值的区间。则 \(M(i,j)\) 的部分是固定的。现在只需要考虑这部分的 \(\gcd\) 之和。但是注意到 \(\gcd\) 只会变化 \(O(\log V)\) 次，所以可以先枚举小的那边，然后通过 \(O(\log V)\) 次二分得到大的那边的分割点。注意这样的话我们需要一个 ST 表求区间 \(\gcd\)，这样是 3log 的。
根据经典结论，把二分换成倍增，复杂度就均摊掉 1 个 log。
枚举小的那段的复杂度对是因为这个相当于启发式合并。
P10919 运输规划
大家都喜欢。
有 \(n\) 个城市，对于任意 \(1 < i \leq n\) 满足第 \(i\) 个城市与第 \(i-1\) 个城市间有一条双向的道路，每个城市有一个对卡车高度的限制 \(h_i\)，代表只有高度小于等于 \(h_i\) 的卡车可以从这个城市经过，现在有 \(m\) 个城市 \(S_{1},S_{2},...,S_{m}\) 各有恰好一个运输任务，任务要求编号为 \(i\) 且高度为 \(h_{S_{i}}\) 的卡车从城市 \(S_{i}\) 出发到达任意一个有机场的城市，而有 \(m\) 个城市有机场，分别为 \(T_{1},T_{2},...,T_{m}\)，对于一个合法的运输方案而言，需要保证每个卡车都到达一个机场且每个机场恰好有一辆卡车抵达。一个机场可以同时被多辆卡车经过。请注意，如果你无法经过某个城市，那么你也无法抵达这个城市。
记 \(c_i\) 表示抵达位于城市 \(T_i\) 的机场的的卡车编号，令数组 \(F = \{c_1,c_2,...,c_m\}\)，请你最小化 \(F\) 的字典序并输出 \(F\)。
我们定义两个长度为 \(len\) 的数组 \(A,B\) 满足 \(A\) 的字典序小于 \(B\) 当且仅当存在 \(0 \leq i < len\) 满足对于任意 \(1 \leq j \leq i\) 满足 \(A_j = B_j\) 且 \(A_{i+1} < B_{i+1}\)。
数据保证有解，保证所有 \(h_i\) 互不相同，所有 \(T_i\) 互不相同，所有 \(S_i\) 互不相同。但是可能会存在 \(i,j\) 满足 \(S_i = T_j\)。
\(1\leq n,m\leq 2\times 10^5\)。
Hall 定理直接套上。注意读题，我们要求的是 \(T\) 匹配什么 \(S\) 的序列对应的字典序最小排列。考虑 Hall 定理的 \(|S|\leq N(S)\)，所以我们可以非常容易想到维护对于 \(S\) 的 \(N(S)-|S|\) 最小值。这个最小值一定等于 \(0\)。注意到 \(S\) 的 \(|S|\) 和其对应的 \(N(S)\) 都可以在笛卡尔树上用一个子树描述，所以其实我们就是相当于维护每个子树的 \(N(S)-|S|\)。去掉一个 \(S\) 就是 \(|S|\) 减，去掉 \(T\) 就是 \(N(S)\) 减。
这个时候已经非常明了了，我们相当于对于一个 \(T\) 找到上面最近的 \(0\) 点，这个点以上的 \(S\) 一定不合法。在这个路径上找到一个最小的 \(S\) 即可。
可以用树剖 + 线段树 + set 维护。
有一个几乎一样的题。不过是 BOJ 的。那个题就是点连排列的一个区间，扫描线类似分析即可。不过这不在笛卡尔树范畴之内。
P9152 待黑白分明
要趁黎明还
没有到来之前
无数的命运线伏延
谁与谁的轨迹交叠
不用倾注太多语言
行动回应眼前一切
握住手中仅存岁月
尝试剥去内心假面
成为彼此生命中最独特最珍贵那页
待到黑白已然分明......
以上不是题面。
Shiro 所在的城市可以看成数轴上 \(n\) 个坐标连续的点，其中 \(i\) 号点的高度为 \(p_i\)，保证 \(p\) 是一个 \(\{1,2,\ldots,n\}\) 的排列。
3202 年的科技非常发达，发展出了虫洞列车技术。共有 \(n\) 种列车，第 \(i\) 种列车会经过所有高度大于等于 \(i\) 的位置，每种列车线路都是双向的，也就是说可以乘列车从左到右，也可以从右到左。
Shiro 想在城市里转转，她定义一个位置集合 \(S\) 合法，当且仅当我们将 \(S\) 中的位置按照高度排序后，相邻的城市可以通过乘坐一种列车在中途不停靠的情况下直达。
她会给你 \(q\) 次询问，每次给定 \(l,r\)，你需要告诉 Shiro 所有位置的高度均在 \([l,r]\) 内的合法集合 \(T\) 的数量对 \(998244353\) 取模的结果。
\(1\le n,q\le 2\times {10}^5\)。
最后一题。
后面的 DS 部分就简单点讲。这题卡时间和空间，素质极差。
这个题面非常让人摸不着头脑。不过如果你读懂了的话，就可以开始分讨什么位置能到达这个位置。
如果这个题你想到了笛卡尔树，那你就很牛了。作者是知道这是笛卡尔树的情况下做的，不过遇到这种排列跟值全部小于大于某个值或者直接摆明是 \(\max\) 或者 \(\min\) 的就可以往这边想了。
限制很史对吧？化成我们知道的东西！那么一点到另外一点一定满足什么？假设是 \(p\to q\)，其实容易写出：
因为只需要让一个 \(i\) 满足即可，所以相当于限制变为：
这个时候其实笛卡尔树已经比较明了了，但是还是很难看出来。建出大根笛卡尔树。一个点能被其左儿子的右儿子链和右儿子的左儿子链转移。如果是单组询问那就直接 DP 就做完了。
然后呢？值域 \(n\to 1\) 扫描线，每次加入一个点。因为大的不会影响小的的 DP 值，所以我们相当于求值 \(\leq r\) 的所有 DP 值和。
树上随机撒点分块，每次两种转移，暴力跳父亲转移到父亲上，然后逐块处理其根对其他所有点的贡献，在值域上做一个前缀和算出贡献系数即可。
需要一些卡常。
