笛卡尔树

合集 - 学习笔记(7)

1.k 元组与集合取 min/max 碰撞的火花2024-05-062.DP - 补2024-08-133.DP 习题（一）2024-06-104.DP（一）2024-06-105.匈牙利。2024-10-116.Hall2024-11-18

7.笛卡尔树2024-11-26

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附近都是喜欢花自己时间耗别人时间和心态，不想宽容别人占用自己时间的人。这些人全是傻逼，所以我开始写这个了。

这里先喷一下。

傻逼啊！我造题，我一句话没说，草泥马的一直叫，叫的还贼难听。日了狗了我真的听够了，就好像你他妈是我上司，我就是下属，就该造题。傻逼才会这么想吧！日马口气极为臭，请搞清楚是我们在无偿做事！至少我不怕说损坏了什么个人名誉甚至是集体名誉。这个集体几乎没帮过我什么，除了挂题，不过那都是小事，我维护 oj 的时间比这个多多了。你们天天都是有事有事，反而是我天天给别人讲题！最弱的给别人讲题，你想想！！！搞明白一点吧！！！

我不管了，这个集训我已经几乎受够了。出 3 次外卖事故的是我，造题最后题没了的也是我，比大多数人做出来连考题少的人也是我！！！我自己揽的活我承认，但是你就别用这种傻逼口气叫，讲题也只讲个状态。就好像什么理都在你们那边。

反正我不想收场了，这个事情不值得我素质高。

好了该补这个知识点了。

笛卡尔树是一个结构描述二元组 $(a_i,b_i)$ 构成的序列。使得对于 $a_i$，这棵树是用二叉搜索树来描述的；且对于 $b_i$，这棵树是按照堆来描述的。

常用的就是对于一个排列去建出大根笛卡尔树或者小根笛卡尔树。此时二元组就是 $(i,a_i)$。

我们容易得出笛卡尔树的 $O(n\log n)$ 建法，就是直接建一个 ST 表，然后递归处理。

但是实际上我们有简单的 $O(n)$ 建法。以下是以建小根笛卡尔树为例。

考虑顺序建树，每次加入一个数 $a_i$，记录 $i-1$ 位置的数目前的位置。因为下一个数需要满足二叉搜索树的限制，所以我们找到到根链上第一个小于 $a_i$ 的数，我们就一定把这个数放到它的右子树上。如果这个右子树已经存在，那就放到目前加入的点的左子树上。

显然发现这样加入那么记录的位置到根链就全部是右儿子。需要特判根都比目前的数大。

显然暴力跳是对的，因为相当于 DFS 了一遍整个树。代码是好写的。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e7+5;
int n,a[M];
unsigned long long ans1,ans2;
int fa[M],L[M],R[M],rt,now;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	now=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		while(fa[now]&&a[i]<a[fa[now]])now=fa[now];
		if(a[now]<a[i]){
			fa[i]=now;R[now]=i;
		}else{
			fa[i]=fa[now],R[fa[now]]=i,fa[now]=i;
			L[i]=now;
		}
		now=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)ans1^=1ull*i*(L[i]+1),ans2^=1ull*i*(R[i]+1);
	cout<<ans1<<" "<<ans2<<"\n";
	return 0;
}

当然有些例题。

P1377 [TJOI2011] 树的序

众所周知，二叉查找树的形态和键值的插入顺序密切相关。准确的讲：

1. 空树中加入一个键值 $k$，则变为只有一个结点的二叉查找树，此结点的键值即为 $k$。
2. 在非空树中插入一个键值 $k$，若 $k$ 小于其根的键值，则在其左子树中插入 $k$，否则在其右子树中插入 $k$。

我们将一棵二叉查找树的键值插入序列称为树的生成序列，现给出一个生成序列，求与其生成同样二叉查找树的所有生成序列中字典序最小的那个，其中，字典序关系是指对两个长度同为 $n$ 的生成序列，先比较第一个插入键值，再比较第二个，依此类推。

$1\leq n\leq 10^5$。

观察它上面定义的二叉查找树，发现生成序列的置换的小根笛卡尔树即为它生成的树。

要求最小的生成序列，相当于我们贪心的去想每次第一个数最小。那么中左右遍历一遍二叉树输出下标即可。

P9607 [CERC2019] Be Geeks!

音乐乐队 Be Geeks! 的名字并非偶然，因为所有成员都是真正的数学怪才。除此之外，他们喜欢研究数列的各种性质。下面是他们感兴趣的一个例子：

• 设 $A$ 是一个非空正整数序列，$A=(a_1, a_2, \dots, a_N)$。
• $G(i, j)=\gcd (a_i, a_{i+1}, \dots, a_j)$，其中 $1\le i\le j\le N$。
• $M(i, j)=\max (a_i, a_{i+1}, \dots, a_j)$，其中 $1\le i\le j\le N$。
• $P(i, j)=G(i, j)\times M(i, j)$，其中 $1\le i\le j\le N$。
• $F(A)=\sum P(i, j)[1\le i\le j\le N]$。

给出一个序列 $A$，你需要求出 $F(A)\bmod 1000000007$ 的值。

$1\leq N\leq 2\times 10^5$。

笛卡尔树是可以把树论的一些东西套上去的。

笛卡尔树分治。每次考虑跨过 $\max$ 值的区间。则 $M(i,j)$ 的部分是固定的。现在只需要考虑这部分的 $\gcd$ 之和。但是注意到 $\gcd$ 只会变化 $O(\log V)$ 次，所以可以先枚举小的那边，然后通过 $O(\log V)$ 次二分得到大的那边的分割点。注意这样的话我们需要一个 ST 表求区间 $\gcd$，这样是 3log 的。

根据经典结论，把二分换成倍增，复杂度就均摊掉 1 个 log。

枚举小的那段的复杂度对是因为这个相当于启发式合并。

P10919 运输规划

大家都喜欢。

有 $n$ 个城市，对于任意 $1 < i \leq n$ 满足第 $i$ 个城市与第 $i-1$ 个城市间有一条双向的道路，每个城市有一个对卡车高度的限制 $h_i$，代表只有高度小于等于 $h_i$ 的卡车可以从这个城市经过，现在有 $m$ 个城市 $S_{1},S_{2},...,S_{m}$ 各有恰好一个运输任务，任务要求编号为 $i$ 且高度为 $h_{S_{i}}$ 的卡车从城市 $S_{i}$ 出发到达任意一个有机场的城市，而有 $m$ 个城市有机场，分别为 $T_{1},T_{2},...,T_{m}$，对于一个合法的运输方案而言，需要保证每个卡车都到达一个机场且每个机场恰好有一辆卡车抵达。一个机场可以同时被多辆卡车经过。请注意，如果你无法经过某个城市，那么你也无法抵达这个城市。

记 $c_i$ 表示抵达位于城市 $T_i$ 的机场的的卡车编号，令数组 $F = \{c_1,c_2,...,c_m\}$，请你最小化 $F$ 的字典序并输出 $F$。

我们定义两个长度为 $len$ 的数组 $A,B$ 满足 $A$ 的字典序小于 $B$ 当且仅当存在 $0 \leq i < len$ 满足对于任意 $1 \leq j \leq i$ 满足 $A_j = B_j$ 且 $A_{i+1} < B_{i+1}$。

数据保证有解，保证所有 $h_i$ 互不相同，所有 $T_i$ 互不相同，所有 $S_i$ 互不相同。但是可能会存在 $i,j$ 满足 $S_i = T_j$。

$1\leq n,m\leq 2\times 10^5$。

Hall 定理直接套上。注意读题，我们要求的是 $T$ 匹配什么 $S$ 的序列对应的字典序最小排列。考虑 Hall 定理的 $|S|\leq N(S)$，所以我们可以非常容易想到维护对于 $S$ 的 $N(S)-|S|$ 最小值。这个最小值一定等于 $0$。注意到 $S$ 的 $|S|$ 和其对应的 $N(S)$ 都可以在笛卡尔树上用一个子树描述，所以其实我们就是相当于维护每个子树的 $N(S)-|S|$。去掉一个 $S$ 就是 $|S|$ 减，去掉 $T$ 就是 $N(S)$ 减。

这个时候已经非常明了了，我们相当于对于一个 $T$ 找到上面最近的 $0$ 点，这个点以上的 $S$ 一定不合法。在这个路径上找到一个最小的 $S$ 即可。

可以用树剖 + 线段树 + set 维护。

有一个几乎一样的题。不过是 BOJ 的。那个题就是点连排列的一个区间，扫描线类似分析即可。不过这不在笛卡尔树范畴之内。

P9152 待黑白分明

要趁黎明还

没有到来之前

无数的命运线伏延

谁与谁的轨迹交叠

不用倾注太多语言

行动回应眼前一切

握住手中仅存岁月

尝试剥去内心假面

成为彼此生命中最独特最珍贵那页

待到黑白已然分明......

以上不是题面。

Shiro 所在的城市可以看成数轴上 $n$ 个坐标连续的点，其中 $i$ 号点的高度为 $p_i$，保证 $p$ 是一个 $\{1,2,\ldots,n\}$ 的排列。

3202 年的科技非常发达，发展出了虫洞列车技术。共有 $n$ 种列车，第 $i$ 种列车会经过所有高度大于等于 $i$ 的位置，每种列车线路都是双向的，也就是说可以乘列车从左到右，也可以从右到左。

Shiro 想在城市里转转，她定义一个位置集合 $S$ 合法，当且仅当我们将 $S$ 中的位置按照高度排序后，相邻的城市可以通过乘坐一种列车在中途不停靠的情况下直达。

她会给你 $q$ 次询问，每次给定 $l,r$，你需要告诉 Shiro 所有位置的高度均在 $[l,r]$ 内的合法集合 $T$ 的数量对 $998244353$ 取模的结果。

$1\le n,q\le 2\times {10}^5$。

最后一题。

后面的 DS 部分就简单点讲。这题卡时间和空间，素质极差。

这个题面非常让人摸不着头脑。不过如果你读懂了的话，就可以开始分讨什么位置能到达这个位置。

如果这个题你想到了笛卡尔树，那你就很牛了。作者是知道这是笛卡尔树的情况下做的，不过遇到这种排列跟值全部小于大于某个值或者直接摆明是 $\max$ 或者 $\min$ 的就可以往这边想了。

限制很史对吧？化成我们知道的东西！那么一点到另外一点一定满足什么？假设是 $p\to q$，其实容易写出：

$$\min(a_p,a_q)\geq i\\ \max_{j=p+1}^{q-1}(a_j)\leq i$$

因为只需要让一个 $i$ 满足即可，所以相当于限制变为：

$$\min(a_p,a_q)>\max_{j=p+1}^{q-1}(a_j)$$

这个时候其实笛卡尔树已经比较明了了，但是还是很难看出来。建出大根笛卡尔树。一个点能被其左儿子的右儿子链和右儿子的左儿子链转移。如果是单组询问那就直接 DP 就做完了。

然后呢？值域 $n\to 1$ 扫描线，每次加入一个点。因为大的不会影响小的的 DP 值，所以我们相当于求值 $\leq r$ 的所有 DP 值和。

树上随机撒点分块，每次两种转移，暴力跳父亲转移到父亲上，然后逐块处理其根对其他所有点的贡献，在值域上做一个前缀和算出贡献系数即可。

需要一些卡常。