5.匈牙利。2024-10-11

6.Hall2024-11-18 7.笛卡尔树2024-11-26

匈牙利算法，能在 $O(Lm+R)$ 的复杂度处理二分图最大匹配的问题，其中 $L$ 是左部点个数， $R$ 是右部点个数， $m$ 是边数，马良极短，吊打网络流。

首先我们有很多关键点能想到这个，要么是涉及到匹配，或者是涉及到需要取出一些环的问题，这个是一个极好的处理方式。

算法流程就是一种调整法，考虑就是对于一个点，暴力去尝试匹配，如果不能匹配上它就失配了。暴力的过程则分为两种：

若该右部点没有匹配，直接匹配该右部点。
若该右部点有匹配，尝试让原来匹配的那个点找到新的匹配。

以下是简短的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=1e3+5;
int mtch[M];
int visT[M];
int n,m,e,x,y;
vector<int> E[M];
int ans;
bool dfs(int now,int tg){
	if(visT[now]==tg)return 0;
	visT[now]=tg;
	for(auto p:E[now])if(!mtch[p]||dfs(mtch[p],tg)){
		mtch[p]=now;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m>>e;
	for(int i=1;i<=e;i++)cin>>x>>y,E[x].push_back(y);
	for(int i=1;i<=n;i++)ans+=dfs(i,i);
	cout<<ans;
	return 0;
}

其中 dfs 函数就是尝试匹配的最主要过程。递归的过程就是找新匹配的过程。为什么可以用 vis 数组？因为再次访问到只有两种情况，要么是再次尝试替换这个点，要么是替换成环，如果我们找到匹配就退出，那么这两种情况一定无解。

例题：CF387D George and Interesting Graph

George 喜欢图，因此它想让图更有趣。他认为有趣的图满足以下条件：

没有重边；

存在结点 $v$ （称为中心），使得对于图中的任意结点 $u$ ，都有边 $(u,v)$ 和 $(v,u)$ ，注意自环 $(v,v)$ 也应该存在；

除去中心外，每个点的入度和出度都恰好为 $2$ ；

显然很少有图有趣，但 George 可以把图变得有趣：每次他可以增加一条边或者删除一条已经存在的边。

现在给出图 $G$ ，George 想知道他最少做多少次操作可以使它变得有趣。

$n\leq 500,m\leq 1000$ 。