挣扎中的赛季末

前言

别看这标题非常像一个神秘的叙事文，但是实际上这是篇考试总结 + 类日记。

Day 1 $\Leftrightarrow$ 5.28

Day 1

补了昨天考试的题。

T1 智障了。不难发现如果找到全局最优点对，剩下就只有这两个点到根这两个路径上的点不是这个答案，然后扫两边就行了。

T2 神仙 DP。考虑到我们可以把一个 $(n-k,m-k)$ 的方案掰到 $(n,m)$ 上，具体就是第一个向量的横坐标 $+k$，最后一个向量的纵坐标 $+k$。因为任意一个不重向量组加起来等于 $(n,m)$，最后总能重排成有序的状态使得合法，所以加入可以没有顺序，使用 01 背包可以做到复杂度 $O(n^4)$。因为是不重向量组，所以我们要踢掉 $\gcd(n,m)\not=1$ 的向量。

因为我们已经可以掰方案了，所以我们这里可以贪心，选小的越好，所以对于一个向量 $(x,y)$，我们一定是选完 $(\leq x,\leq y)$ 的向量再选这个，否则我们可以替换使得至少某一维更小。打出来表有 600 个向量满足所有条件。

然后有一个结论就是凸包上整点个数是 $O(n^\frac{2}{3})$，不知道为什么。但是算出答案确实只有最多 $290$ 个点。这个时候的背包理论上就是 $O(n^\frac{8}{3})$。

交换答案和某一维的状态，设 $f_{i,j}$ 是选 $j$ 个向量，使得 $\sum_p{x_p}=i$ 的最小的 $\sum_q{y_q}$。转移是简单的。此时复杂度为 $O(n^\frac{7}{3})$。最后记得做一个二维前缀 $\max$ 就行了。

T3 nxbj，等我做 DS 的时候再说。

Day 4

只能背叛自己。

Day 5

省流：场上是智障。

T1 一直在想二分，最后糊了一个把所有区间拍下来排序然后双指针的做法，场上以为这个东西没有前途，结果赛后发现把 $O(n^2)$ 个区间换成每一层最靠近原来平均数的两个区间就行了，我是傻逼。原题 P8424。

T2 找规律。T3 逆天 meet-in-middle。

Day 6

笑点解析：平衡树，$n\leq 1000$。

最不会 ov-tree 的一集。

Day 8

T1 最大智障。我想的是神秘的长链剖分优化 DP，好像需要闵可夫斯基和合并（。正解是把这个东西重新连边形成一颗二叉树，然后因为第一步向上，所以二叉树 size 为偶数时不能继续向上合并；启发式合并二叉树的 size，每次合并两个最大的 size，然后考虑到两个偶数无法合并。考虑可以把某个偶数剥掉一个点合并。如果是最大偶数和最大奇数合并，如果没用上次大偶数一定不比两个偶数合并优，用上了之后和用两个偶数合并一致，所以两个偶数合并更优。

合并途中需要保证集合内的元素和是子树大小。

T2 JOI 2022 Giraffes。智障完了。首先注意到这个东西有一个性质，考虑把最大值和最小值全部放在一个区间非端点处，你会发现一定不满足条件，所以我们只需要保证最大值或最小值有一个在端点处。这样的话就会发现存在一种区间合并方式使得每个区间的值域连续，我们就可以根据这个东西区间 DP，设一个区间和值域的未改变数的最大值为状态，转移 $O(1)$，总复杂度 $O(n^3)$。

考虑探究这个最大值或最小值有一个在端点处的其他性质。不难发现一个我们把最大值放左边，最小值放右边的加入一个 LDS，其他的加入一个 LIS，那么整个序列被划分成一个 LIS 和一个 LDS。根据某个结论，一个随机排列的的 LIS 或 LDS 长度是 $O(\sqrt n)$ 的，所以上面那个 DP 的答案的值域是 $O(\sqrt n)$ 的。遇到这种情况，我们肯定尝试把这个 DP 的答案塞到状态里。

考虑先转化问题，我们钦定一个初始点（边长为 $0$ 的正方形），每次最大值放左边就将左端点进行 $(-1,+1)$，其他类似，我们能得到一个正方形序列。设原排列为 $p_i$，钦定关键点为 $(i,p_i)$，如果在这个序列里边我们能找到一个正方形序列，使得每个正方形互相包含（可贴），并且每个正方形都有一个关键点在四个角的任意一个（每个正方形对应的关键点不同）。不难发现该正方形序列是由一个方案简化得到，并且它的最长长度就是答案。这样我们能设出状态 $f_{k,i,j}$ 为正方形序列长度为 $k$ 时关键点 $(i,p_i)$ 为正方形的 $j$ 角（即 $j$ 是一个方向）时的最小正方形长度。每层转移是枚举上一层的所有矩形更新答案，时间复杂度 $O(n^2\sqrt n)$。

最后一步就是最恶心的，考虑这个问题可以变成：在一个 2-side 矩形中找一个矩形使得其距离最远点构成的正方形边长最小，这个东西可以扫描线做，需要拆正方形边长的贡献，然后加入枚举的同方向的点，非常史。最后复杂度为 $O(n\sqrt n\log n)$。

T3 支配树。

Day 15

前面还有一场考试就不写了。

T1 原 P9351，就是一个边界转移的 01 BFS，用并查集优化枚举做到 $O(rc\alpha(\max(r,c)))$。

T2 不知道是什么东西。

T3 原 P5227。牛牛哈希题。掰出来一棵生成树，不连通的条件就是对一个树边，删去它和它子树中的所有一端在子树中，另一端不在子树中的非树边。你发现如果我们给非树边设置一个随机权值，两端的的点权都异或上这个权值，那么那个树边的权值就是子树点权异或和，因为端点都在或都不在子树内的非树边此时没有影响。用线性基查找有无子集异或为 $0$ 即可（看是否线性相关，即看是否某个元素插入不进去）。

Day 16

对一个游戏求 SG 函数就是暴力在生成 DAG 上 DFS 跑啊。我之前连 SG 函数的定义都不知道是什么（

对于 DAG 上的一个点（状态）$u$：

$$SG(u)=\operatorname{mex}(\bigcup_{(u,v)\in E}\{SG(v)\})$$